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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 69

Determine a localização e do centro de cisalhamento (ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t .

Passo 1

Observe a distribuição de forças geradas sobre a viga. Elas vão gerar um momento sobre a viga e isso gera uma “torção na viga”

O centro de cisalhamento é o ponto O onde uma força P aplicada, gera um momento equivalente ao das forças internas, anulando a torção.

Pra calcular isso, vamos integrar o fluxo de cisalhamento sobre a viga para determinar as forças internas em função de P . Depois vamos fazer um cálculo de momento equivalente, para determinar a distância e .

Como já conhecemos a força que atua no ponto O (que é o próprio P ), então vamos fazer este cálculo de momentos em relação ao ponto O ' . Dessa forma não vamos precisar calcular a força F 2 .

Passo 2

Começamos calculando o momento de inércia:

I = 2 b ⋅ t 3 12 + b ⋅ t ⋅ d ⋅ s e n 45 º + t 2 2 + t s e n ( 45 º ) ⋅ 2 d ⋅ s e n 45 º 3 12

A expressão é bem grande. Mas observe que t é a espessura de uma parede fina. Isso quer dizer que t é muito menor que as outras dimensões. Em outras palavras:

t 2 → 0

t 3 → 0

Com isso podemos simplificar a expressão:

I = 2 ⋅ b ⋅ t ⋅ d ⋅ s e n 45 º 2 + t s e n ( 45 º ) ⋅ 2 d ⋅ s e n 45 º 3 12

I = 2 ⋅ b ⋅ t ⋅ d 2 2 2 + t ⋅ 2 d 3 ⋅ 2 2 2 12

I = b ⋅ t ⋅ d 2 + t ⋅ d 3 3

I = t d 2 3 ( 3 b + d )

Passo 3

Na figura está destacado o comportamento do momento estático na aba. Vamos usar isso para determinar uma equação para o momento estático na aba

Q 1 = x 1 ⋅ t ⋅ d ⋅ s e n 45 º ,   o n d e   0 < x 1 < b

Passo 4

Agora vamos calcular as forças. Basta integrar o fluxo de cisalhamento na região:

Força 1:

F 1 = ∫ 0 b q 1 d x = ∫ 0 b 1 V Q 1 I d x

F 1 = V I ∫ 0 b x 1 ⋅ t ⋅ d ⋅ s e n 45 º d x

Integrando:

F 1 = V I t d ⋅ s e n 45 º ⋅ x 1 2 2 0 b

Consideramos que a força cortante é igual a força aplicada sobre a viga: V = P

F 1 = P I t d ⋅ s e n 45 º ⋅ b 2 2

Substituíndo o momento de inércia

F 1 = 3 P t d 2 ( d + 3 b ) t d ⋅ s e n ⁡ ( 45 º ) ⋅ b 2 2

E encontramos a força

F 1 = 3 P b 2 2 d ( d + 3 b ) ⋅ s e n ⁡ ( 45 º )

Passo 5

Agora vamos imaginar que aplicamos a força P no centro de cisalhamento O , nesse caso, por definição:

E calculamos o momento em O '

∑ M O ' = 0 ⇒ - 2 ( F 1 ⋅ d ⋅ s e n 45 º ) + P ⋅ e = 0

P ⋅ e = 2 F 1 ⋅ d ⋅ s e n 45 º

P ⋅ e = 6 P b 2 2 d ( d + 3 b ) ⋅ s e n ⁡ ( 45 º ) ⋅ d ⋅ s e n 45 º

e = 6 b 2 2 ( d + 3 b ) ⋅ s e n 2 ⁡ ( 45 º )

e = 3 b 2 2 ( d + 3 b )

Resposta

e = 3 b 2 2 ( d + 3 b )

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