Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 72
Determine a localização do centro de cisalhamento (ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento têm a mesma espessura .
Passo 1
Fala, meu querido! A gente precisa achar a localização do centro de cisahamento. Esse centro é por onde passa a linha de ação da nossa força sem que haja torção na viga. (ele nem sempre coincide com o centroide).
Para achar ele, vamos usar nossa imaginação e trabalhar com umas grandezas genéricas, tá? Imagina que a gente tem uma força sendo aplicada nessa viga no seu centro de cisalhameto.
E na viga, serão gerados esforços internos para reagir a essa força, como a gente colocou na figura:
Observe a distribuição de forças geradas sobre a viga. Elas vão gerar um momento sobre a viga e isso gera uma “torção na viga”
O centro de cisalhamento é o ponto onde uma força aplicada, gera um momento equivalente ao das forças internas, anulando a torção na nossa viga como um todo.
Pra calcular isso, vamos integrar o fluxo de cisalhamento sobre a viga para determinar as forças internas em função de . Depois vamos fazer um cálculo de momento equivalente, para determinar a distância .
Como já conhecemos a força que atua no ponto O (que é o próprio ), então vamos fazer este cálculo de momentos em relação ao ponto . Dessa forma não vamos precisar calcular as forças e .
Respira e vem comigo!
Passo 2
Começamos calculando o momento de inércia
Observe que é a espessura de uma parede fina. Isso quer dizer que é muito menor que as outras dimensões. Em outras palavras, perto de , podemos considerar que:
Com isso podemos simplificar a expressão e considerar que o momento de inércia de 3 tende a zero.
Chegamos numa expressão para o momento de inércia.
Passo 3
Vamos uma expressão pro momento estático:
A gente quer aqui achar , que é a força só sobre a metade dessa aba 1. Então só precisamos calcular o momento estático em relação a essa parte da aba.
Como a gente vai usar ele numa integral depois, vamos calcula-lo em função de (origem no eixo de simetria da seção).
O momento estático é:
Chegamos numa expressão pro momento estático.
Observe que para esse momento estático , pela figura, pois estamos olhando só para a metade da aba 1.
Passo 4
Para encontrar a força sobre a aba 1 basta integrar o fluxo de cisalhamento:
A fórmula do fluxo de cisalhamento é:
A força cortante é igual à força aplicada .
Tirando o que é constante da integral:
Substituindo o momento estático
Efetuando a integral:
Chegamos numa expressão para força na aba:
Passo 5
Agora vamos calcular o somatório de momentos em . Ele precisa ser igual há zero porque não podemos ter torção na nossa seção.
Repara que temos duas , uma em cada metade da aba. Pela simetria elas valem a mesma coisa.
Substituindo :
Substituindo o momento de inércia:
Simplificando: