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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 82

Determine a localização e do centro de cisalhamento (ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura.

Passo 1

Como nas demais questões de fluxo de cisalhamento, o procedimento de resolução consiste em integrar o fluxo de cisalhamento sobre a seção para encontrar a força interna e calcular o somatório de momentos.

As dificuldades nessa questão são de não conhecermos uma forma fácil de calcular as propriedades geométricas (momento de inércia e momento estático). Para resolver isso vamos utilizar coordenadas polares e integrar ao longo da seção.

Outra dificuldade é saber onde será o ponto de aplicação da força encontrada. Porém, isso na verdade não importa! Pois a força obrigatoriamente estará sobre a parede fina. Então se fizermos o somatório de momentos em relação ao centro C , o braço do momento será igual ao raio, e não precisaremos nos importar em descobrir o ponto exato em que a força atua.

Passo 2

Observe o elemento infinitesimal θ .

O momento de inércia de um corpo é dado por:

d I = y 2 d A

No nosso caso:

y = r ⋅ sen ⁡ θ

d A = t ⋅ d s = t ⋅ r ⋅ d θ

Dessa forma:

d I = r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ ⋅ t ⋅ r ⋅ d θ

Aplicamos a integração. Os limites foram definidos dessa forma evitar que eles se anulem.

I = r 3 t ∫ π - α π + α sin 2 ⁡ θ d θ  

Lembrando das tabelas de integrais temos:

I = r 3 t ⋅ 1 2 ⋅ θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ π - α π + α  

Resolvendo:

I = r 3 t ⋅ 1 2 π + α - π + α - 1 4 ( sen ⁡ 2 π + 2 α - sen ⁡ 2 π - 2 α )

I = r 3 t ⋅ α - 1 4 ( sen ⁡ 2 α - sen ⁡ - 2 α )

I = r 3 t ⋅ α - 1 4 ( sen ⁡ 2 α + sen ⁡ 2 α )

I = r 3 t ⋅ α - sen ⁡ 2 α 2

Chegamos na expressão para o momento de inércia:

I = r 3 t 2 ⋅ 2 α - sen ⁡ 2 α

Passo 3

Agora vamos calcular o momento estático. Como será preciso integrar o momento estático para determinar a força, vamos determinar uma fórmula pro momento estático.

O momento estático é definido como:

d Q = y d A

No nosso caso:

y = r ⋅ sen ⁡ θ

d A = t ⋅ d s = t ⋅ r ⋅ d θ

Então:

d Q = r ⋅ sen ⁡ θ ⋅ t ⋅ r ⋅ d θ

d Q = r 2 t ⋅ sen ⁡ θ ⋅ d θ

Vamos efetuar a integração. Os limites são definidos do ponto inicial π - α , até um ponto θ qualquer.

Q = r 2 t ∫ π - α θ sen ⁡ θ d θ  

Q = r 2 t - cos ⁡ θ π - α θ  

Q = r 2 t ⋅ ( - cos ⁡ θ + cos ⁡ π - α )  

Q = r 2 t ⋅ ( - cos ⁡ θ - cos ⁡ α )  

Chegamos numa fórmula pro momento estático.

Q = - r 2 t ⋅ ( cos ⁡ θ + cos ⁡ α )  

Passo 4

Agora que temos o momento estático e de inércia, podemos integrar o fluxo de cisalhamento ao longo do caminho d s para determinar a força que atua sobre a seção.

F = ∫ q d s

Substituindo a fórmula do momento estático:

F = ∫ V Q I ⋅ d s

Substituindo o d s = r d θ

F = ∫ V Q I ⋅ r d θ

A força cortante é igual a força aplicada: V = P

F = ∫ P Q r I ⋅ d θ

Vamos definir os limites de ponta a ponta da seção, da mesma forma que fizemos com o momento de inércia:

F = P r I ∫ π - α π + α - r 2 t ⋅ ( cos ⁡ θ + cos ⁡ α ) d θ  

F = - r 3 t ⋅ P I ∫ π - α π + α ( cos ⁡ θ + cos ⁡ α ) d θ  

F = - r 3 t ⋅ P I ⋅ sen ⁡ θ - θ ⋅ cos ⁡ α π - α π + α  

F = - r 3 t P I ⋅ sen ⁡ ( π + α ) - sen ⁡ π - α - ( π + α ) ⋅ cos ⁡ α + ( π - α ) ⋅ cos ⁡ α  

F = - r 3 t P I ⋅ - 2 sen ⁡ ( α ) - 2 α ⋅ cos ⁡ α  

F = r 3 t P I ⋅ 2 sen ⁡ ( α ) + 2 α ⋅ cos ⁡ α  

Substituindo o momento de inércia:

F = r 3 t P r 3 t 2 ⋅ 2 α - sen ⁡ 2 α ⋅ 2 sen ⁡ ( α ) + 2 α ⋅ cos ⁡ α  

Chegamos numa expressão para a força.

F = 4 P 2 α - sen ⁡ 2 α ⋅ sen ⁡ α + α ⋅ cos ⁡ α  

Passo 5

Agora efetuamos o somatório de momentos sobre o ponto C, pois apesar de não termos definido em que ponto a força F atua, sabemos que ela fica sobre a seção. E qualquer ponto da seção está a uma distância r do ponto C .

∑ M C = 0 ⇒ P ⋅ e - F ⋅ r = 0

P e = F r

e = 1 P ⋅ 4 P 2 α - sen ⁡ 2 α sen ⁡ α + α ⋅ cos ⁡ α ⋅ r

e = 4 r sen ⁡ α + α ⋅ cos ⁡ α 2 α - sen ⁡ 2 α

Resposta

e = 4 r sen ⁡ α + α ⋅ cos ⁡ α 2 α - sen ⁡ 2 α

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