Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas de Revisão - Ex. 158
Determine a localização e a magnitude da máxima deflexão da viga . Assumindo que a viga é o , e , calcule o valor do máximo momento aplicado admissível se a deflexão máxima não excede .
Passo 1
Fala, galerinha. Beleza? Bora fazer uma questão de mecânica.
Bora começar esboçando o DCL:
E então, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinarmos a reação em , temos:
Em seguida, vamos utilizar a equação de momento no ponto para determinarmos a equação para o momento fletor. Onde . Logo:
Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:
Substituindo:
Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:
Integrando mais uma vez:
Passo 2
Em seguida, para encontrarmos a deflexão máxima, precisamos primeiro encontrar a equação da linha elástica. Para isso, vamos encontrar as condições de contorno na equação do ultimo passo. Fica assim:
Portanto, quando está no ponto , a deflexão é nula. E também, quando está em a deflexão também é nula. Com isso, vamos substituir estas condições de contorno. Temos:
E para a segunda condição, temos:
Com as constantes definidas, basta as substituirmos nas equações que encontramos anteriormente. A equação da linha elástica vai ser:
E a equação para a inclinação vamos encontrar substituindo a constante em . Logo:
Esta é a nossa equação para a linha elástica.
Passo 3
Para encontrarmos a localização da máxima deflexão precisamos lembrar que a máxima deflexão se dá no ponto em que a inclinação é nula. Logo:
Isolando , temos que:
Subsituindo:
Opa, encontramos a posição em que a máxima deflexão ocorre.
Passo 4
Agora, para determinarmos o momento basta substituirmos o ponto que encontramos no passo anterior na equação da linha elástica. Portanto:
Esta é magnitude da máxima deflexão. Sabendo que a máxima não excede e que para este perfil, o momento de inércia é dado por:
Podemos encontrar este valor no ábaco do nosso livro. Substituindo: