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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.5 - Ex. 105

Determine o período τ das pequenas oscilações da casca cilíndrica do Prob. 8/77, repetido aqui, em torno do eixo y .

Passo 1

Para esse problema vamos usar as relações de conservação de energia como também relembrar manipulações com a equação do oscilador harmônico.

Passo 2

Vamos inicialmente aplicar conservação de energia. Temos que relembrando o exercício mencionado, a energia nos dará que

U m a x = T m a x

E temos que nossa energia potencial é dada por

U m a x = m ⋅ g ⋅ h 2 ⋅ 1 - cos ⁡ θ O

E se considerarmos pequenos ângulos de variações, temos que cos ⁡ θ O = 1 - θ o 2 2 ! , usando a expansão de Taylor. Substituindo esse resultado, temos que nossa potencial será

U m a x = m ⋅ g ⋅ h 2 ⋅ θ O 2 2 = 1 4 ⋅ m ⋅ g ⋅ h ⋅ θ O 2

Indo agora para a energia cinética, temos que ela será dada pela energia cinética de rotação, assim temos que

T m a x   = 1 2 ⋅ m ⋅ I O ⋅ θ ˙ m a x   2

Usando a tabela D/4, temos o valor do nosso momento de inércia, que será I O = 1 2 ⋅ m ⋅ r 2 + 1 3 ⋅ m ⋅ h 2 . E temos que θ = θ O ⋅ sin ⁡ ω n ⋅ t , derivando essa equação para pequenas oscilações, temos que o valor de θ ˙ m a x é

θ ˙ m a x = θ O ⋅ ω n

Substituindo na energia cinética, temos então que

T m a x = 1 2 ⋅ m ⋅ r 2 2 + h 2 3 ⋅ θ O 2 ⋅ ω n 2

Igualando as duas equações, ficamos então com

1 2 ⋅ m ⋅ r 2 2 + h 2 3 ⋅ θ O 2 ⋅ ω n 2 = m ⋅ g ⋅ h 2 ⋅ θ O 2 2 = 1 4 ⋅ m ⋅ g ⋅ h ⋅ θ O 2

ω n 2 = g ⋅ h 2 r 2 2 + h 2 3

E como o período é dado por τ = 2 ⋅ π ω n . Temos que

τ = 2 ⋅ π ⋅ 2 g ⋅ h ⋅ r 2 2 + h 2 3

Resposta

τ = 2 ⋅ π ⋅ 2 g ⋅ h ⋅ r 2 2 + h 2 3

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