Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 48
Determine a tração desenvolvida nos cabos , e necessária para o equilíbrio da caixa de .
Passo 1
Olá, belezinha? Bora fazer esse exercício top? Bora!!
Para encontrarmos o valor da tração em cada cabo, o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas. Assim, teremos:
Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.
Tem-se que a caixa exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de .
O que vamos fazer aqui é usar as equações de equilíbrio que dizem que
No ponto. Como a gente está em 3D, é melhor colocar as forças na forma vetorial primeiro e depois achar as componentes delas em cada eixo. Aí as equações de equilíbrio que a gente vai usar são:
Bora lá!
Passo 2
Para achar a forma vetorial das forças, vamos usar a fórmulinha:
Como o módulo das forças a gente vai achar pelas equações de equilíbrio, só precisamos achar o vetor que está na direção e sentido da força do por enquanto.
A força sai de e vai para . Aí para achar o vetor nessa direção, a gente faz ponto final menos inicial
Então:
Para achar as componentes da força é só olhar as componentes do vetor que a gente achou
Para , nosso vetor sai de e vai para :
Assim:
Onde:
E para , como ela está no mesmo lugar que o eixo , e está no sentido positivo, a gente pode dizer que o vetor unitário na direção dela é . Para achar esse cara, é só colocar um na componente do eixo que ela está, no caso, a componente .
Podemos dizer então:
Logo:
As outras componentes ficam zero, já que a força está contida em um eixo só.
Passo 3
Conseguimos montar as equações de equilíbrio.
A condição de equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada eixo seja nulo (para que nenhum corpo se mova), ou seja:
Aí a gente vai usar para cada eixo as componentes que achou e peso. Lembrando que o peso só atua no eixo e para baixo, por isso ele entra negativo no somatório.
Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:
Passo 4
Agora, como há três equações encontradas, é possível montar um sistema de equações e determinar a solução dele, cuja solução será o valor das forças:
Primeiro, podemos pegar a segunda equação e deixar cada uma das variáveis de cada lado dela, tal que:
Ou seja:
Assim, substituindo esse resultado na terceira equação:
Temos:
Consequentemente:
Por fim, usando esses dois resultados na primeira equação:
Logo:
E, portanto: