Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 106
O diagrama tensão-deformação de um material pode ser descrito pela curva . Determine a deflexão da extremidade de uma haste feita desse material se ela tiver comprimento , área de seção transversal e peso específico .
Passo 1
Uma haste está pendurada. A extremidade superior está engastada e a inferior está livre.
Essa questão não tem números, vamos anotar tudo que sabemos.
Características da haste:
- Comprimento inicial: .
- Área transversal: .
- Peso específico: .
Além disso, sabemos que a relação tensão-deformação é não linear, regida por
Até aqui é pra considerarmos tudo conhecido! Inclusive aquela constante !
O forçamento sobre a haste vai ser seu próprio peso! Em uma distância a partir do engaste, a força puxando o segmento para baixo é
Queremos saber o quanto a extremidade livre se desloca para baixo: .
A tensão e deformação aqui interagem de forma não linear, então não podemos usar as fórmulas que estamos acostumados! Vamos ter que apelar para as definições.
Passo 2
A definição da deformação é o deslocamento dividido pelo comprimento inicial, mas isso é calculado em segmento bem pequeno (infinitesimal)! Então escrevemos com diferenciais:
E é claro, isso é calculado em seção a uma distância do engaste.
Beleza! Agora para a tensão, como a haste tem área constante e nenhum concentrador de tensão, podemos pensar em tensão axial média para ela toda:
Passo 3
Não se assuste, tá tranquilo. Só juntar isso tudo agora com a relação que a questão nos deu.
Estamos procurando o deslocamento da haste, então vamos isolar o diferencial :
Substitua a fórmula da força e integre:
Resposta
Deflexão: