O diagrama tensão-deformação de um material pode ser descrito pela curva σ = c ϵ 1 / 2 . Determine a deflexão δ da extremidade de uma haste feita desse material se ela tiver comprimento L , área de seção transversal A e peso específico γ .

Passo 1

Uma haste está pendurada. A extremidade superior está engastada e a inferior está livre.

Essa questão não tem números, vamos anotar tudo que sabemos.

Características da haste:

  • Comprimento inicial: L .
  • Área transversal: A .
  • Peso específico: γ .

Além disso, sabemos que a relação tensão-deformação é não linear, regida por

σ = c ϵ 1 / 2

Até aqui é pra considerarmos tudo conhecido! Inclusive aquela constante c !

O forçamento sobre a haste vai ser seu próprio peso! Em uma distância x a partir do engaste, a força puxando o segmento para baixo é

F ( x ) = γ   A   x

Queremos saber o quanto a extremidade livre se desloca para baixo: δ .

A tensão e deformação aqui interagem de forma não linear, então não podemos usar as fórmulas que estamos acostumados! Vamos ter que apelar para as definições.

Passo 2

A definição da deformação é o deslocamento dividido pelo comprimento inicial, mas isso é calculado em segmento bem pequeno (infinitesimal)! Então escrevemos com diferenciais:

ϵ ( x ) = d δ ( x ) d x

E é claro, isso é calculado em seção a uma distância x do engaste.

Beleza! Agora para a tensão, como a haste tem área constante e nenhum concentrador de tensão, podemos pensar em tensão axial média para ela toda:

σ ( x ) = F ( x ) A

Passo 3

Não se assuste, tá tranquilo. Só juntar isso tudo agora com a relação que a questão nos deu.

σ = c ϵ 1 / 2           →         F x A = c d δ x d x

Estamos procurando o deslocamento da haste, então vamos isolar o diferencial d δ :

d δ = F x c   A 2 d x

Substitua a fórmula da força e integre:

d δ = γ   A   x c   A 2 d x

δ = ∫ 0 L γ 2   x 2 c 2   d x

δ = γ 2   c 2 L 3 3 - 0 3 3

δ = γ 2   L 3   3 c 2

Resposta

Deflexão:

δ = γ 2   L 3   3 c 2

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