Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 98
O peso é suspenso por cabos de aço e alumínio, cada um com o mesmo comprimento inicial de e área de seção transversal de . Se considerarmos que os materiais são elásticos perfeitamente plásticos com e , determine a força em cada cabo se o peso for e . ,
Passo 1
Um peso é sustentando por dois cabos, um de aço e um de alumínio. Os materiais devem ser considerados elastoplásticos.
Vamos anotar tudo, e fique atento: a questão fala sobre os materiais serem elastoplásticos, então precisamos checar escoamento!
Características dos cabos:
- Cabo de alumínio: , .
- Cabo de aço: , .
- Área transversal: .
- Comprimento inicial: .
A questão pede que investiguemos dois casos:
- Caso : .
- Caso : .
Queremos saber a força ocorrendo em cada material!
Primeiro vamos supor que os materiais permanecem elásticos (tensões menores que a tensão de escoamento). Isso significa, nessa questão, em resolver um problema estaticamente indeterminado.
Aí vamos ver se alguma das tensões calculadas é maior que a tensão de escoamento! Se for, vamos tratar de usar o comportamento dos elastoplásticos.
Passo 2
Começamos com equilíbrio de forças. Só tem uma direção no problema, e os cabos tem que sustentar o peso:
Essa condição é verdade pros dois casos ( é conhecido!). Vamos caçar mais relações. Vejamos a condição de compatibilidade.
Passo 3
O peso vai estender os cabos, aumentando o tamanho deles. O cabo de aço e o cabo de alumínio tem que aumentar o mesmo comprimento!
Considerando que estamos no regime elástico, temos fórmula pra esses caras. Relação carga-deslocamento:
Atenção que só podemos usar essa fórmula agora porque estamos supondo regime elástico! Depois vamos verificar se estamos certos em usar isso.
Passo 4
Agora vamos resolver o sistema de equações considerando o Caso . Substitua na equação que veio do equilíbrio e use .
Show, achamos um resultado pro Caso . Mas isso só é valido se estivermos no regime elástico. Temos que checar se isso é verdade!
Divida cada força pela área , assim temos as tensões:
A tensão no alumínio é menor que a tensão de escoamento dele, . OK!
A tensão no aço é menor que a tensão de escoamento dele, . OK!
Maneiro, então pro Caso acabou! As forças em cada cabo são e
Bora pro Caso !
Passo 5
A lógica pro Caso é a mesma a princípio: primeiro precisamos resolver o problema estaticamente indeterminado no regime elástico.
Voltando ao Passo , temos que
Substitua isso na equação de equilíbrio do Passo , só que agora o forçamento é .
De novo, esses valores só são válidos se ainda estivermos no regime elástico. Vamos checar!
Divida cada força pela área , assim temos as tensões:
A tensão no alumínio é menor que a tensão de escoamento dele, . OK!
Mas a tensão no aço dessa vez é maior que a tensão de escoamento dele, .
Temos que avaliar o Caso de novo, porque a relação da compatibilidade não é válida!
A informação que temos é: o aço com certeza vai escoar!
Passo 6
Como os materiais são elastoplásticos, quando eles atingem a , a tensão neles vai continuar sendo a tensão de escoamento! Então a tensão no aço é na verdade:
Se o aço está sob tensão , podemos multiplicar pela área pra saber qual é o máximo de carregamento que ele está aguentando:
Beleza, essa é a verdadeira força que o cabo de aço sustenta no Caso ! Agora vamos ver pro alumínio!
Aí a gente volta pra equação de equilíbrio com :
Atenção: você tem que fazer essa conta com a condição de equilíbrio! A relação que achamos pela compatibilidade só seria válida se os dois materiais estivessem em regime elástico. Cuidado com isso!
Passo 7
Pra fechar o Caso temos que conferir se o cabo de alumínio escoa com .
Ótimo, não ultrapassou !
Fechou a questão! No Caso , o cabo de aço escoa, suportando uma força , e o cabo de alumínio permanece no regime elástico, suportando .
OBS: exercite seu entendimento! Se a tensão no cabo de alumínio também tivesse sido maior que o limite de escoamento, significaria que os cabos não suportam o peso, e vão continuar estendendo até romper!
Resposta
Forças quando o peso é :
- No cabo de alumínio: .
- No cabo de aço: .
- No cabo de alumínio: .
- No cabo de aço: .
Forças quando o peso é :