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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 138

Dois parafusos A e B são apertados aplicando-se as forças e os binários mostrados na figura. Substitua os dois torsores por um torsor único equivalente e determine a a resultante R , b o passo do torsor único equivalente, c o ponto em que o eixo do torsor intercepta o plano x z .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A resultante é dada pela soma das forças. Como estão em direções diferentes, vamos representar vetorialmente:

R = 75,6 - 7,5 8,5 i - 4 8,5 j - 117 k

R = - 66,71 i - 35,58 j - 117 k

A magnitude é dada por:

R = - 66,71 2 + - 35,58 2 + - 117 2

R = 1 39,3   N

Podemos então encontrar o vetor direção unitário:

r = R R

r = - 66,71 i - 35,58 j - 117 k 139,3

r = - 0,47887 i - 0 , 2554 j - 0 , 83992 k

Passo 2

O torsor equivalente é calculado ao fazer o produto vetorial dos vetores que ultrapassam a distância das linha de ação das forças ao ponto O . Somados aos torsores iniciados:

M O = ∑ F × d + ∑ M

Substituindo os valores, temos:

M O = - 117 k × - 0 , 25 j - 27 - 7,5 8,5 i - 4 8,5 j - 25 k

M O = 29,25 i + - 23,82 i + - 12,7 j - 25 k

M O = 5,42 i - 12,7 j - 25 k

A intensidade do torsor na direção da R pode ser calculada ao fazer o produto escalar entre o torsor e a direção de R :

M i = M O ⋅ r

M i = 5,42 i - 12,7 j - 25 k ⋅ - 0,47887 i - 0,2554 j - 0,83992 k

M i = 21,65   N ⋅ m

O passo do torsor é dado pela divisão entre a intensidade do torsor pela intensidade de R :

p = M i R

p = 21,65 139,3

p = 0,155   m

Passo 3

Item c:

O torsor binário pode ser dado como o somatório dos torsores aplicados no sistema ou como o produto vetorial de R por r O .

Portanto:

R × r O = M 2

- 66,71 i - 35,58 j - 117 k × x i + z k = 15,78 i + - 7,17 j + - 6,82 k

- 66,71 z j - 35,58 x k - ( - 117 x j - 35,58 z i = 15,78 i + - 7,17 j + - 6,82 k

Portanto:

15,78 = 35,58 z

z = 0,444   m

- 6,82 = - 35,58 x

x = 0 , 192   m

O eixo do momento torsor intercepta o plano x z em x = 0,192   m , y = 0 e z = 0,444   m .

Resposta

a )   R = - 66,71 i - 35,58 j - 117 k

b )   p = 0,155   m

c ) x = 0,192   m

y = 0

z = 0,444   m

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