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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 35

Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar o maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal.

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = E p a r t e   t r a n s f o r m a d a   E p a r t e   i n t a c t a  

Vamos transformar então o alumínio em uma correspondente em latão.

n = E a l u m í n i o   E l a t ã o   = 70 105 = 0,667

E para mudarmos a largura do alumínio precisamos fazer a seguinte conta.

b ' = n b = 0,667   .   10 = 6,67   m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

Agora já podemos determinar o momento de inércia.

Passo 2

Como já temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

    • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Sendo assim teremos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + ( I 2 + A 2 d 2 2 ) + ( I 3 + A 3 d 3 2 ) + ( I 4 + A 4 d 4 2 )

    I = 3333 + 400   .     25 2 + 3333 + 400   .     25 2 + 35573 + 35573

    I = 577812   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Calculando primeiro o latão:

σ a d m = + 160   M P a = 160 N m m 2

y - - = - 30 m m

I = 577812   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

160 N m m 2 = - M   .   ( - 30 ) m m 577812   m m 4

M = 3081664   N m m = 3,08   k N m

E analisando agora o alumínio teremos que:

σ a d m = 100 M P a = 100 N m m 2

y - - = - 20 m m

I = 577812   m m 4

σ x = - n M y I

Substituindo, teremos que:

- 100 N m m 2 = - 0,667 M   . ( - 20 ) m m 577812   m m 4

M = 4331424   N m m = 4,3   k N m

Como temos as tensões admissíveis, sabemos que ao momento que podemos aplicar será o menor dos que são dados acima, além dos mais, o maior momento dos dois irá romper a menor resistência, enquanto que o menor momento, garante a menor resistência e não afeta a maior, sendo assim teremos que:

M = 3 , 08   k N m

Resposta

M = 3 , 08   k N m

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