Duas rodas em formato de disco, cada uma com massa m , estão ligadas por uma barra leve, porém rígida de comrpimento l . O conjunto é arremessado de uma superfície horizontal, com velocidade v conforme indicado. Se v é suficientemente grande para que a barra não toque na quina após A ter deixado a superfície, determine um valor aproximado para a velocidade angular ω do conjunto, uma vez que B tenha ultrapassado a superfície. Considere as rodas como massas concentradas, e mencione quaisquer outras hipóteses simplificadoras.

Passo 1

O que vai provocar a rotação da barra conforme a roda B se aproxima da borda? O momento gerado pelo peso do conjunto!

O enunciado diz que a velocidade v é grande o suficiente para que a barra não toque a quina depois que A passa da borda.

Mas vamos assumir também que v é grande o suficiente para que o ângulo que a barra forma com a horizontal depois que A passa a borda é pequeno, de forma que podemos fazer a seguinte aproximação:

Passo 2

Agora que fizemos essa aproximação, vamos fazer um diagrama de forças:

Esse diagram vale para qualquer instante de tempo desde quando A passa a borda, até quando B chega na borda. E podemos escrever uma equação de momentos em relação ao ponto B :

∑ M B = I B α

Olhando primeiro para o lado direito da equação, a única força que produz momento em relação ao ponto B é a força peso:

∑ M B = 2 m g l 2

E o momento de inércia em relação ao ponto B pode ser encontrado usando o teorema dos eixos paralelos:

I B = I c m + ( 2 m ) d 2

I B = m l 2 2 + m l 2 2 + 2 m l 2 2 = m l 2

Então:

2 m g l 2 = m l 2 α

α = g l

Passo 3

Agora que conhecemos a aceleração angular, como podemos encontrar a velocidade angular no instante em que B atinge a borda?

ω = ω 0 + α t

E se a velocidade v da roda é constante, o tempo que ela demora para atingir a borda depois que A já a atingiu é:

Δ t = Δ x v         ⇒         t = l v

E ω 0 = 0 , então:

ω = α t = g l l v = g v

Resposta

A velocidade angular do conjunto será ω = g / v .

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