Enunciado

Um eixo maciço de aço ( G = 77   G P a ) de 3   m de comprimento, transmite 12 k W a uma frequência de 25   H z . Determinar o diâmetro necessário do eixo, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é de 5 0   M P a e o ângulo de torção não deve exceder a 10 ° .

Passo 1

A gente tem dois critérios de projeto: a tensão máxima admissível é τ m á x = 5 0   M P a = 5 0 ⋅ 10 6   P a e o ângulo de torção deve ser menor que ϕ = 10 ° . Queremos o diâmetro necessário para essas condições.

Nossos dados são:

- frequência de rotação: f = 25   H z

- potência transmitida: P = 12 k W = 12   000   W

- temos um eixo maciço de comprimento L = 3   m

- G = 77   G P a

Vem comigo!

Passo 2

Vamos achar o torque nesse eixo, pela relação:

P = 2 T π f ∴ T = P 2 π f

Substituindo os dados do nosso problema:

T = 12   000 2 ⋅ π ⋅ 25 = 76,39437   N ⋅ m

Passo 3

Para um eixo maciço, temos que:

J = π 2 c 4

A gente consegue escrever uma relação entre a tensão máxima, o torque produzido nessa situação e o raio do eixo, pela expressão:

J c = T τ m á x ∴ π 2 c 3 = T τ m á x ∴ c = 2 T π τ m á x 1 3

Substituindo nossos dados:

c = 2 T π τ m á x 1 3 = 2 ⋅ 76,39437     π ⋅ 5 0 ⋅ 10 6 1 3 = 0,0 0 99   m

d 1 = 0,0 1 98   m = 1 9 , 8   m m

Beleza! Esse é o diâmetro que a gente achou por um critério de projeto, a tensão máxima admissível.

Passo 4

Precisamos testar o critério que falta: o ângulo de torção máximo.

ϕ = 10 ° = 10 ⋅ π 180   r a d = 0 , 17453   r a d

Para isso, vamos usar a relação:

ϕ = T L J G = T L π 2 c 4 G ∴ c = 2 T L ϕ π G 1 4

Substituindo nossos dados:

c = 2 ⋅ 76,39437 ⋅ 3 0,17453 ⋅ π ⋅ 77 ⋅ 10 9 1 4 = 0,0 102   m

d 2 = 0,0 204   m = 20 , 4   m m

Passo 5

Agora a gente precisa escolher o maior diâmetro entre os dois que achamos, isso porque nosso eixo não pode deixar de atender nenhum dos critérios. Quanto maior o diâmetro, mais resistente a estrutura.

Logo, nossa resposta é:

d 2 = 20,4   m m

Ufa! Conseguimos!

Resposta

d = 20,4   m m

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