Desenvolver uma expressão aproximada para o ângulo de torção de um eixo, de forma de tronco de cone no Prob 3.56, substituindo o tronco de cone por n eixos cilíndricos de iguais comprimentos e raios r i = ( n + i - 1 2 ) / ( c / n ) , onde i = 1,2 , … ,   n . Qual é a resposta do Prob. 3.56 e a porcentagem de erro nesta resposta, se a expressão obtida for usada com (a) n=4, (b) n=8 (c) n=20; (d) n=100

Passo 1

Na questão anterior (Problema 3.56) a gente desenvolveu a seguinte integral:

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ∫ L 2 L 1 y 4 d y

Se a gente pensar lá da teoria do cálculo, a gente vai lembrar que as integrais são somas!

Em outras palavras, a gente pode representar a integral acima da seguinte forma:

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ⋅ ∑ 1 y 4 Δ y

Basicamente, isso é uma Soma de Riemman. Se tiver dúvidas, aqui no Responde Aí a gente explica tudinho sobre Somas de Riemman e como achar integrais por Somas Riemman.

Então é isso que vamos fazer, vamos resolver Somas de Riemman para diferentes valores de n

Passo 2

Vamos definir algumas coisas úteis para a soma de Riemman

O tamanho Δ y é a espessura de cada degrau, ele será a “base” da Soma:

Δ y = L n

E podemos dizer que:

f y = 1 y 4

Além disso, não se esqueça que y varia entre L e 2 L :

L ≤ y ≤ 2 L

Passo 3

Vamos calcular para n = 4

Então:

b a s e : Δ y = L 4 = 0,25 L

Agora vamos calcular diferentes alturas:

f y = 1 y 4

f L = 1 L 4 f 1,25 L = 256 625 L 4 f 1,5 L = 16 81 L 4 f 1,75 L = 256 2401 L 4

E agora calculamos a Soma de Riemman:

∑ 1 4 1 y 4 Δ y = f L L 4 + f 1,25 L L 4 + f 1,5 L L 4 + f 1,75 L L 4

∑ 1 4 1 y 4 Δ y = 1 L 4 + 256 625 L 4 + 16 81 L 4 + 256 2401 L 4 ⋅ L 4

∑ 1 4 1 y 4 Δ y = 1 L 4 + 256 625 L 4 + 16 81 L 4 + 256 2401 L 4 ⋅ L 4

∑ 1 4 1 y 4 Δ y = 0,4284 L 3

Passo 4

E aplicamos a soma na equação do ângulo de torção:

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ⋅ ∑ 1 y 4 Δ y

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ⋅ 0,4284 L 3

Logo:

ϕ = 0,8569 ⋅ L T G π c 4

Passo 5

A resposta analítica é:

ϕ A = 7 12 L T π G c 4

E nós encontramos:

ϕ = 0,8569 ⋅ L T π G c 4

Se dividirmos um pelo outro encontraremos o erro e subtraindo 1

E r r o = ϕ ϕ A - 1 = 0,8569 ⋅ L T π G c 4 7 12 L T π G c 4 - 1 = 0,8569 7 12 = 0,4690

E r r o = 46,90 %

Resposta

E r r o = 46,90 %

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