Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 57a
Desenvolver uma expressão aproximada para o ângulo de torção de um eixo, de forma de tronco de cone no Prob 3.56, substituindo o tronco de cone por n eixos cilíndricos de iguais comprimentos e raios onde . Qual é a resposta do Prob. 3.56 e a porcentagem de erro nesta resposta, se a expressão obtida for usada com (a) n=4, (b) n=8 (c) n=20; (d) n=100
Passo 1
Na questão anterior (Problema 3.56) a gente desenvolveu a seguinte integral:
Se a gente pensar lá da teoria do cálculo, a gente vai lembrar que as integrais são somas!
Em outras palavras, a gente pode representar a integral acima da seguinte forma:
Basicamente, isso é uma Soma de Riemman. Se tiver dúvidas, aqui no Responde Aí a gente explica tudinho sobre Somas de Riemman e como achar integrais por Somas Riemman.
Então é isso que vamos fazer, vamos resolver Somas de Riemman para diferentes valores de
Passo 2
Vamos definir algumas coisas úteis para a soma de Riemman
O tamanho é a espessura de cada degrau, ele será a “base” da Soma:
E podemos dizer que:
Além disso, não se esqueça que varia entre e :
Passo 3
Vamos calcular para
Então:
Agora vamos calcular diferentes alturas:
E agora calculamos a Soma de Riemman:
Passo 4
E aplicamos a soma na equação do ângulo de torção:
Logo:
Passo 5
A resposta analítica é:
E nós encontramos:
Se dividirmos um pelo outro encontraremos o erro e subtraindo 1