Enunciado

Sabendo-se que ( G = 77   G P a ) e τ a d m = 40   M P a para o aço a ser usado, determinar: (a) o menor diâmetro permissível de um eixo maciço, que deve transmitir 18   h p , a uma rotação de 2400   r p m ; (b) o correspondente ângulo de torção em um eixo de 1,85   m de comprimento.

Passo 1

a) Queremos o menor diâmetro de um eixo maciço para aguentar essa situação. Vamos chamar ele de d e o raio referente a ele de c . Temos esses dados:

- velocidade de rotação:   24 00   r p m

- G = 77   G P a = 77 ⋅ 10 9   P a

- potência transmitida: P = 18   h p

- tensão máxima admissível: τ a d m = 40   M P a = 40 ⋅ 10 6   P a

Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar arrumando a unidade dos nossos dados. Para transformar a velocidade em r p m para a frequência f em H z , usamos a relação:

1   r p m = 1 60   H z

Logo,

24 0 0   r p m = 40   H z

E para transformar a potência em h p para W , usamos a relação:

1   h p = 746   W

Logo,

18   h p = 13   428   W  

Passo 3

Para um eixo maciço, temos que:

J = π 2 c 4

A gente consegue escrever uma relação entre a tensão máxima admissível, o torque produzido nessa situação e o raio do eixo, pela expressão:

J c = T τ a d m ∴ π 2 c 3 = T τ a d m ∴ c = 2 T π τ a d m 1 3

Passo 4

E conseguimos escrever a potência produzida por um torque T e uma frequência f pela expressão:

P = 2 T π f ∴ T = P 2 π f

Substituindo isso na nossa expressão para o raio:

c = 2 P 2 π f π τ a d m 1 3 = P π 2 f τ a d m 1 3

Agora a gente consegue substituir os dados do nosso problema:

c = 13   428   π 2 ⋅ 40 ⋅ 40 ⋅ 10 6 1 3 = 0,00947   m = 9,5   m m

d = 19   m m

Passo 5

b) Agora a gente quer achar o ângulo de torção produzido nessa situação, sabendo que o comprimento do eixo é L = 1,85   m . Para isso usamos:

ϕ = T L J G

Vamos lembrar que:

J c = T τ a d m ∴ T = J τ a d m c

Substituindo isso na expressão do ângulo de torção:

ϕ = J τ a d m c L J G = τ a d m L G c

Substituindo os dados do problema:

ϕ = 40 ⋅ 10 6 ⋅ 1,85 77 ⋅ 10 9 ⋅ 0,00947 = 0 , 10148   r a d = 5,81 °

Lembrando que para passar de radianos para graus é só multiplicar por 180 / π .

Resposta

(a)   d = 19   m m

(b) ϕ = 5,81 °

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