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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 150

Um eixo cilíndrico vazado de comprimento L , raio médio, c m e espessura uniforme t é submetido a um torque de intensidade T . Considere, além disso, os valores das tensões de cisalhamento médias τ m e d   e o ângulo de torção ∅ obtido das formulas de torção elástica desenvolvidas nas Seções 3.1.3 e 3.2, também, os valores correspondentes obtidos das fórmulas desenvolvidas na Seção 3.10 para eixo vazados com parede fina. (a) Mostre que o erro relativo introduzido pelo uso das fórmulas de eixos vazados com parede fina em lugar das fórmulas de torção elástica é o mesmo para τ m e d   e ∅ , e que o erro relativo é positivo e proporcional à relação t c m . (b) compare o erro percentual correspondente a valores da relação t c m de 0,1 , 0,2 e 0,4.

Passo 1

E ai galera tudo belezinha? Espero que sim!! O Enunciado pede que a gente mostre que o erro relativo introduzido pelo uso das fórmulas de eixos vazados com parede fina em lugar das fórmulas de torção elástica é o mesmo para τ m e d   e ∅ , e que o erro relativo é positivo e proporcional à relação t c m . E que a gente compare o erro percentual correspondente a valores da relação t c m de 0,1 , 0,2 e 0,4.

Considere c 2 = raio externo = c m + 1 2 t   e   c 1 = raio interno = c m - 1 2 t  

Então começamos fazer as relações usando a equação abaixo teremos:

J = π 2   x   c 2 4 - c 1 4 = π 2   x   c 2 2 - c 1 2   x   c 2 + c 1   x   c 2 - c 1

= π 2   x   c m 2 + c m t + 1 4 t 2 + c m 2 - c m t + 1 4 t 2   x   2 c m t = 2 π   x   c m 2 + 1 4 t 2 x   c m t

Passo 2

Para a tensão de cisalhamento temos:

τ m = T c m J = T 2 π   x   c m 2 + 1 4 t 2 t

E para o ângulo D φ 1 = T L J G = T L 2 π   x   c m 2 + 1 4 t 2 c m t G

A Área delimitada pela linha central. a = π c m 2 τ a v e = T 2 t a = T 2 π c 2 m t φ 2 = T L 4 a 2 G ∮ d s t = T L   x   ( 2 π c m / t ) 4   x   ( π c m 2 ) ² G = T L 2 π c m ³ t G  

Passo 3

Agora sim podemos determinar o que o enunciado pede, vem comigo que falta pouquinho

Índices: τ a v e τ m = T 2 π c 2 m t   x   2 π   x   c m 2 + 1 4 t 2 T = 1 + 1 4 t 2 c m 2 φ 2 φ 1 = T L 2 π c m ³ t G   x 2 π   x   c m 2 + 1 4 t 2 T L = 1 + 1 4 t 2 c m

τ a v e τ m - 1 = φ 2 φ 1 - 1 = 1 4 t 2 c m 2

Resposta

τ a v e τ m - 1 = φ 2 φ 1 - 1 = 1 4 t 2 c m 2

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