Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas de Revisão - Ex. 165
O tanque de ar comprimido AB tem um diâmetro interno de 450 mm e espessura de parede uniforme de 6 mm. Sabendo que a pressão manométrica no tanque é de 1,2 MPa, determine a tensão normal máxima e a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões no ponto a, na superfície superior do tanque.
Passo 1
Simmm, quase todos os problemas de revisão são extensos, mas pensa pelo lado positivo, são os últimos do capítulo, desiste não! Para resolver esse exercício, vamos precisar calcular a tensão interna causada pela pressão manométrica do tanque e somar com os esforços gerados pela força de 5 kN, que irá causar momento e torção no tanque. Para as pressões internas, temos que a pressão na direção longitudinal é dada por:
E a pressão gerada na direção circunferencial é dada por:
Em que p é a pressão manométrica, r é o raio interno do tanque e t é a espessura da sua parede. Com esses valores, basta encontrar a tensão normal gerada pelo momento causado no eixo e a tensão de cisalhamento causada pela torção, fazendo isso teremos os valores para as tensões nas direções x, y e a tensão de cisalhamento, com isso poderemos calcular a tensão máxima através de:
Então vamos precisar calcular a tensão média e o raio do círculo de Mohr para o estado resultante. Bora lá!
Passo 2
Beleza! Vamos começar calculando as tensões geradas pela pressão manométrica, começando pela pressão longitudinal, temos:
Agora, na direção circunferencial, teremos:
Passo 3
Beleza! Agora precisamos encontrar a tensão normal gerada pelo momento causado no tanque. Sabemos que essa tensão normal é dada por:
Em que M é o momento aplicado, c é a distância do centro do tanque até o ponto de interesse e I é o seu momento de inércia. No nosso caso c será a distância do centro do tanque até a superfície, ou seja, o raio externo do tanque, que será:
Já o momento M será causado pela força de 5 kN aplicada no sistema, através do braço de alavanca até o ponto a, que estamos analisando. Então o momento gerado será:
E, por fim, precisamos calcular o momento de inércia da seção, como temos uma seção circular vazada, o momento de inércia será dado por:
Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Agora temos todos os valores para calcular a tensão normal causada pelo momento gerado no tanque. Então teremos:
Passo 4
Agora nós vamos encontrar a tensão de cisalhamento gerada pela torção aplicada ao tanque, sabendo que o cisalhamento é dado por:
Em que T é o torque aplicado ao eixo, c é a distância do centro ao ponto de interesse e J é o momento polar de inércia. No nosso caso, o torque gerado será proveniente da força de 5kN aplicada na alavanca, vezes o braço de 500 mm, ou seja:
O será o mesmo do passo 2, ou seja:
E, o momento polar de inércia para uma seção circular vazada é dado por:
Então agora podemos calcular o valor da tensão de cisalhamento gerada pela torção, então teremos:
Passo 5
Então, com isso, as tensões resultantes no tanque no ponto a serão:
Substituindo as expressões encontradas nos passos 2 e 3, chegamos em:
Com esses valores, podemos encontrar a tensão média, que é dada por:
E, agora, o raio do círculo de Mohr, que é dado por:
Então a tensão normal máxima será:
E, nós sabemos que a tensão de cisalhamento máxima no plano é o próprio raio do círculo de Mohr, então teremos:
Belezaaa!! Terminamos mais um, valeeeu!