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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 126

O eixo é feito de um material endurecido por deformação cujo diagrama τ - γ é mostrado na figura. Determine o torque T que deve ser aplicado ao eixo de modo a criar um núcleo elástico no eixo com raio ρ e = 12,5 m m

Passo 1

Dados da questão: r = 15 m m ,   ρ e = 12,5   m m . Nesse material, tanto a zona elástica quanto a plástica possuem comportamento linear.

O que a questão pede: O valor do torque aplicado T =   ?

Como o comportamento deste material é diferente do normal, vamos utilizar a equação 5.23 para determinar o torque.

T = 2 π ∫ 0 ρ τ ⋅ ρ 2 d ρ  

Para aplicar a integração, precisaremos definir uma ou mais equações que representem o comportamento da tensão em função do raio.

Para relacionar a deformação com o raio, vamos considerar que a deformação é constante ao longo da seção transversal.

Passo 2

Uma vez que consideramos que a deformação é linear ao longo da seção transversal, podemos garantir que a razão entre a deformação e o raio é contante:

γ ρ = γ e ρ e = γ r r = c o n s t a n t e

A expressão pode ser manipulada como:

γ = γ e ρ e ρ

γ = γ r r ρ

Passo 3

Vamos determinar uma equação que represente o segmento OE

Por proporção, temos:

τ γ = τ e γ e

Isolando a tensão:

τ = τ e γ e γ

Substituíndo γ = γ e ρ e ρ , como definido no passo anterior

τ = τ e γ e ⋅ γ e ρ e ρ

Chegamos numa expressão que relaciona a tensão com o raio.

τ = τ e ρ e ρ

Substituíndo os valores:

τ = 70   M P a 0,0125   m ρ

Chegamos na equação:

τ = 5600 ⋅ ρ

Onde o raio ρ é dado em metros, e a τ tensão é dada em M P a . Vamos manter essas unidades de medida para evitar trabalhar com números muito grandes ou com potências de dez

Note que essa função é válida apenas elástico: 0 ≤ ρ ≤ ρ e

Passo 4

Vamos determinar uma equação que represente o segmento ER

Por proporção, temos:

τ - τ e γ - γ e = τ r - τ e γ r - γ e

Isolando a tensão:

τ - τ e = τ r - τ e γ r - γ e γ - γ e

τ = τ r - τ e γ r - γ e γ - γ e + τ e

Substituíndo γ = γ e ρ e ρ , como definido no Passo 2

τ = τ r - τ e γ r - γ e γ e ρ e ρ - γ e + τ e

Colocando γ e ρ e em evidência chegamos numa expressão que relaciona a tensão com o raio:

τ = τ r - τ e γ r - γ e ⋅ γ e ρ e ⋅ ρ - ρ e + τ e

Substituíndo os valores:

τ = 135 - 70 0,010 - 0,005 ⋅ 0,005 0,0125 ⋅ ρ - 0,0125 + 70

Chegamos na equação:

τ = 2800 ⋅ ρ + 35

Onde o raio ρ é dado em metros, e a τ tensão é dada em M P a . Vamos manter essas unidades de medida para evitar trabalhar com números muito grandes ou com potências de dez

Note que essa função é válida apenas no intervalo plástico: ρ e ≤ ρ ≤ r

Passo 5

Em posse das funções que representam a tensão, podemos aplicar a Equação 5.23 para determinar a tensão:

T = 2 π ∫ 0 r τ ⋅ ρ 2 d ρ

Subtituíndo as funções de acordo com os respectivos limites

T = 2 π ∫ 0 ρ e ( 5600 ⋅ ρ ) ⋅ ρ 2 d ρ + 2 π ∫ ρ e r ( 2800 ⋅ ρ + 35 ) ⋅ ρ 2 d ρ

Vamos manipular a equação para simplificar ao máximo as integrais:

T = 2 π ∫ 0 ρ e 5600 ⋅ ρ 3 d ρ + 2 π ∫ ρ e r 2800 ⋅ ρ 3 d ρ + 2 π ∫ ρ e r 35 ⋅ ρ 2 d ρ

T = 11200 π ∫ 0 ρ e ρ 3 d ρ + 5600 π ∫ ρ e r ρ 3 d ρ + 70 π ∫ ρ e r ρ 2 d ρ

Aplicando as integrações:

T = 11200 π ⋅ ρ 4 4 0 ρ e + 5600 π ⋅ ρ 4 4 ρ e r + 70 π ⋅ ρ 3 3 ρ e r

T = 11200 π 4 ⋅ ρ e + 5600 π 4 ⋅ ( r 4 - ρ e 4 ) + 70 π 3 ⋅ ( r 3 - ρ e 3 )

T = 2800 π ⋅ ρ e + 1400 π ⋅ ( r 4 - ρ e 4 ) + 70 3 π ⋅ ( r 3 - ρ e 3 )

Substituíndo os valores:

T = 2800 π ⋅ 0,0125 4 + 1400 π ⋅ ( 0,015 4 - 0,0125 4 ) + 70 3 π ⋅ ( 0,015 3 - 0,0125 3 )

Obtemos um valor em mega newtons vezes metro, pois as tensões utilizadas nos cálculos anteriores estavam em mega pascal.

T = 0,00043427 ⋅ M N ⋅ m

T = 434,27 ⋅ N ⋅ m

Resposta

T = 434,27 ⋅ N ⋅ m

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