Enunciado

Um reservatório de pressão esférico tem um diâmetro externo de 5 m e espessura de parede de 24 mm é feito de um aço para o qual E = 200 GPa e ν = 0,29. Sabendo que a pressão manométrica no reservatório pode aumentar de zero a 1,8 MPa, determine (a) a tensão normal máxima no reservatório e (b) seu aumento de diâmetro.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar as equações vistas nessa seção. No nosso caso, temos um vaso de pressão esférico, e, sabemos que nessa situação, temos a tensão longitudinal igual a tensão tangencial, ou seja:

σ 1 = σ 2 = p r 2 t

Em que p é a pressão manométrica do vaso, r é seu raio interno e t a espessura do vaso. Então, através dessa equação, conseguimos encontrar a tensão normal máxima pedida na letra (a)

Agora, para a letra (b), precisamos encontrar o aumento no diâmetro do vaso, que será a deformação causada pelas forças. Para o nosso caso, onde temos a duas tensões principais, temos que a deformação na direção do raio pode ser dada por:

ε 1 = σ 1 - ν σ 2 E

Lembrando que temos que considerar o efeito da tensão 2 nesse sentido, que irá aliviar a deformação. E, como nós já teremos os valores das tensões lá da letra (a), basta substituir esses valores e os fornecidos no enunciado para encontrar a deformação na direção 1. Com a deformação, podemos encontrar o aumento no diâmetro multiplicando ela pelo diâmetro da seção, ou seja:

Δ r = d ε 1

Então bora lá!

Passo 2

Para a letra (a), vamos começar encontrando os valores para encontrar a tensão admissível através de:

σ 1 = σ 2 = p r 2 t

No nosso caso, estamos interessados no caso limite, onde teremos as tensões principais iguais a tensão admissível, ou seja:

σ 1 = σ 2 = σ a d m

Sendo assim, vamos calcular o valor do raio interno, que é dado por:

r = d 2 - t = 5 2 - 0,024 → r = 2,476   m

Agora, podemos substituir os valores conhecidos na equação para a tensão admissível, e chegaremos em:

σ a d m = 1,8.10 6 2,476 2 0,024 → σ a d m = 92,85   M P a

Proonto! Essa é a tensão admissível pedida na letra (a). Bora pra (b) agora!

Passo 3

Para a letra (b), vamos utilizar a equação descrita lá no passo 1 para a deformação na direção radial, onde teremos:

ε 1 = σ 1 - ν σ 2 E

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, temos

ε 1 = 92,85 . 10 6 - 0,29 92,85 . 10 6 200.10 9 → ε 1 = 329,6 . 10 - 6

Com essa deformação, podemos encontrar o aumento no diâmetro através de:

Δ r = d ε 1 = 5 329,6 . 10 - 6

Δ r = 1,648.10 - 3   m

Tá aí o valor pedido na letra (b). Fechamos mais um, valeeeu!

Resposta

a : σ a d m = 92,85   M P a

b : Δ r = 1,648 . 10 - 3   m

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