Enunciado

O eixo é feito de plástico e tem seção transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento no ponto A e mostre a tensão de cisalhamento em um elemento de volume localizado nesse ponto. Determine também o ângulo de torção ϕ na extremidade B . G p   =   15   G P a .

Passo 1

Olá, galerinha! Tudo bem com vocês?

Vamos primeiro verificar o que o problema pede:

  • Determinar a tensão de cisalhamento no ponto A ;
  • Mostrar a tensão de cisalhamento em um elemento de volume localizado nesse ponto;
  • Determinar o ângulo de torção ϕ na extremidade B .

Módulo de elasticidade transversal do plástico:   G P = 15   G P a .

Agora é importante desenhar o diagrama de corpo livre e fazer o equilíbrio dos torques.

Na seção C B :

↻ + ∑ M x = 0

T C B - 50 = 0

T C B = 50   N ⋅ m

Na seção A C :

↻ + ∑ M x = 0

T A C - 40 - 50 = 0

T A C = 90   N ⋅ m

Passo 2

O ponto A está localizado na seção A C , e,

T A = T A C = 90   N ⋅ m

A seção transversal do eixo é uma elipse, então usaremos a fórmula:

τ m á x = 2 T π a b 2

Em que a é a metade da diagonal maior e b é a metade da diagonal menor. Calculando tensão de cisalhamento nesse ponto, temos:

τ A = 2 ⋅ 90 π ⋅ 0,05 ⋅ 0,02 2

τ A = 2,86   M P a

Passo 3

O nosso próximo passo é mostrar a a tensão de cisalhamento em um elemento de volume localizado no ponto A .

Mas, como fazemos isso?

É simples, basta você determinar a localização de uma tensão no elemento de volume. As outras são reações a ela para manter o corpo em equilíbrio.

Essa primeira tensão que determinaremos é uma tensão resultante do torque T A localizada no centro da face frontal do elemento de volume e orientada para a esquerda, pois o torque é no sentido anti-horário.

Sendo assim, as outras tensões serão reações, a fim de manter o corpo em equilíbrio.

Passo 4

Resta, por fim, determinar o ângulo de torção na extremidade B , que corresponde a:

ϕ B = ϕ A C + ϕ C B

Como se trata de uma elipse a fómula é dada por:

ϕ = a 2 + b 2 T L π a 3 b 3 G

Temos então:

ϕ B = a 2 + b 2 T A C L A C π a 3 b 3 G + a 2 + b 2 T C B L C B π a 3 b 3 G

Como o denominador é o mesmo, podemos simplificar e colocar a 2 + b 2 em evidência:

ϕ B = a 2 + b 2 ⋅ ( T A C L A C + T C B L C B ) π a 3 b 3 G

ϕ B = 0,05 2 + 0,02 2 ⋅ ( 90 ⋅ 2 + 50 ⋅ 1,5 ) π ⋅ 0,05 3 ⋅ 0,02 3 ⋅ 15 ⋅ 10 9

ϕ B = 0,015692677   r a d

Convertendo para radianos:

ϕ B = 0,015692677   r a d ⋅ 180 π

ϕ B = 0,899 °

Resposta

τ A = 2,86   M P a

ϕ B = 0,899 °

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