O eixo é composto por três tubos concêntricos, todos do mesmo material, e cada um com os raios internos e externos mostrados na figura. Se for aplicado um torque T = 800   Nm ao disco rígido preso à sua extremidade, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo.

Passo 1

Um eixo feito de três tubos sofre um torque de T = 800   Nm . Queremos a tensão de cisalhamento máxima!

Queremos descobrir qual é a tensão de cisalhamento máxima em cada tubo!

Sabemos que a fórmula da torção para cisalhamento é

τ = T   r J

Características do tubo menor ( 1 ) :

  • Raio interno: r 1 i = 20   mm .
  • Raio externo: r 1 e = 25   mm .
  • Momento polar de inércia: J 1 = π ( r 1 e 4 - r 1 i 4 ) / 2 = 362264,903   mm 4 .
  • Características do tubo intermediário ( 2 ) :

  • Raio interno: r 2 i = 26   mm .
  • Raio externo: r 2 e = 30   mm .
  • Momento polar de inércia: J 2 = π ( r 2 e 4 - r 2 i 4 ) / 2 = 554528,802   mm 4 .
  • Características do tubo maior ( 3 ) :

  • Raio interno: r 3 i = 32   mm .
  • Raio externo: r 3 e = 38   mm .
  • Momento polar de inércia: J 3 = π ( r 3 e 4 - r 3 i 4 ) / 2 = 1628224,641   mm 4 .

Ufa, só de calcular esses J já foi metade da questão!

Sabemos qual é o torque aplicado ( T = 800   Nm ) , os raios e os momentos polares de inércia. Vamos juntar todas essas informações para achar a tensão máxima!

Passo 2

A sacada dessa questão é entender que o torque foi aplicado para o eixo como um todo! Ou seja, os três tubos vão contribuir para resistir esse torque! O momento polar de inércia equivalente vai ser a soma dos três:

J T = J 1 + J 2 + J 3 = 2545018,346   mm 4

Como o torque está agindo em tudo e os tubos são concêntricos, o eixo rotação é o mesmo para eles. Na fórmula da tensão, para calcularmos a máxima, queremos usar a maior distância que temos até o centro de rotação: a borda mais externa de todas! Esse valor é r 3 e = 38   mm .

Agora só jogar na fórmula!

τ m a x = T   r 3 e J T         →         τ m a x = 800   N m   ⋅ 38   mm 2545018,346   mm 4

τ m a x = 11,94   MPa

Resposta

Tensão de cisalhamento máxima: τ m a x = 11,94   MPa .

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