Encontre o comprimento total L da corrente que terá uma curvatura de 6 pés quando suspensa em dois pontos na mesma linha horizontal a 30 pés de distância.

Passo 1

No esboço abaixo, podemos ver que ambas as extremidades do cabo estão na mesma altura, o que significa que o ponto mais baixo (início do nosso sistema de coordenadas) está no meio da cadeia. Sabendo disso, podemos dizer que as coordenadas do ponto A são

A 15 ;   6

Em seguida, como o cabo suporta apenas seu peso, o cabo tem uma forma conhecida como catanaria, portanto, para determinar o comprimento do cabo (2s), usaremos a expressão (5/20)

s = T 0 μ sinh ⁡ μ x T 0

⇒                     2 s = 2 ∙ T 0 μ sinh ⁡ x T 0 μ

Substitua x pela coordenada do ponto A

2 s = 2 ∙ T 0 μ sinh ⁡ 600 T 0 μ                     ( 1 )

Passo 2

Observe que T0 e μ são desconhecidos, bem como a razão T0/ μ , que podemos determinar a partir da expressão (5/19)

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

⇒                     y = T 0 μ cosh ⁡ x T 0 μ - 1

Coloque as coordenadas do ponto A na equação

120 = T 0 μ cosh ⁡ 600 T 0 μ - 1

Passo 3

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), vamos representar graficamente a função T 0 μ cosh ⁡ 15 T 0 μ - 1 e ler o valor de T 0 μ em f T 0 μ = 6

T 0 μ = 19.676

Finalmente, vamos substituir T 0 μ por seu valor na equação (1)

L = 2 ∙ 19.676 sinh ⁡ 15 19.676

Percebemos que o comprimento do cabo é

L = 32.99   ft

Resposta

L = 32.99   ft

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