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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 49

Determine por integração direta os centroides das áreas a seguir.

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide por integração. Para isso, Sabemos que:

x = 2 3 r cos ⁡ θ = 2 3 a R θ   cos ⁡ θ

y = 2 3 r sin ⁡ θ = 2 3 a R θ sin ⁡ θ

Agora, precisamos determinar o termo d A , que nada mais é do que a área da nossa figura que está variando:

d A = 1 2 r 2 d θ d A = 1 2 a 2 e 2 θ   d θ

Para a área, vamos integrar o termo d A . Fica assim:

  ∫ d A = ∫ 0 π 1 2 a 2 e 2 θ   d θ

= 133623 a 2

Passo 2

Agora, para encontrarmos os centroides, devemos utilizar as seguintes fórmulas:

x - = ∫ x   d A ∫ d A             ;             y - = ∫ y   d A ∫ d A

Como já temos a integral de d A , vamos calcular as integrais do numerador:

∫ x   d A = ∫ 0 π 2 3 a e θ cos ⁡ θ   d θ = - 1239,26   a 3

Vamos repetir o processo para y :

∫ y   d A = ∫ 0 π 2 3 a e θ sin ⁡ θ   d θ = 413,09   a 3

Passo 3

Por fim, basta substituirmos o numerador e o denominador, ficaremos com:

x - = 9,27 a

y - = 3,09 a

Vale ressaltar que o nosso foco não é nas operações matemáticas.

Resposta

x - = 9,27 a

y - = 3,09 a

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