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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 3

Encontre a matriz de transformação que gira um sistema de coordenadas retangulares por um ângulo de 120 ° sobre um eixo que forma ângulos iguais com os três eixos de coordenadas originais.

Passo 1

Vamos logo partir pra mais uma, galera. Essa aqui vamos aplicar direto a matriz dos cossenos diretores. Só vamos precisar dar uma abstraída legal para enxergar essa rotação.

Chamemos de x 1 ,   x 2 ,   x 3 os eixos coordenados originais e x 1 ' ,   x 2 ' ,   x 3 ' os eixos coordenados depois da rotação pedida.

Ao fazermos a rotação pedida os eixos novos se relacionarão com os antigos da seguinte forma: x 1 → x 3 '

x 2 → x 1 '

x 3 → x 2 '

Com isso podemos encontrar os elementos da nossa matriz de transformação:

Passo 2

λ 11 = cos ⁡ x 1 ' x 1 = cos ⁡ 90 ° = 0

λ 12 = cos ⁡ x 1 ' x 2 = cos ⁡ 0 ° = 1

λ 13 = cos ⁡ x 1 ' x 3 = cos ⁡ ( 90 ° ) = 0

λ 21 = cos ⁡ x 2 ' x 1 = cos ⁡ 90 ° = 0

λ 22 = cos ⁡ x 2 ' x 2 = cos ⁡ 90 ° = 0

λ 23 = cos ⁡ x 2 ' x 3 = cos ⁡ 0 ° = 1

λ 31 = cos ⁡ x 3 ' x 1 = cos ⁡ ( 0 ° ) = 1

λ 32 = cos ⁡ x 3 ' x 2 = cos ⁡ 90 ° = 0

λ 33 = cos ⁡ x 3 ' x 3 = cos ⁡ ( 90 ° ) = 0

λ = λ 11 λ 12 λ 13 λ 21 λ 22 λ 23 λ 31 λ 32 λ 33 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0

Resposta

λ = 0 1 0 0 0 1 1 0 0

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