Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 3.7 - Ex. 176
Um equipamento de massa está preso em por duas molas cada uma com rigidez e comprimento sem deformação . O equipamento é liberado a partir do repouso neste ponto e cai a uma pequena distância. A deflexão em qualquer instante de tempo é muito pequena quando comparada com , de modo que o alongamento da mola é muito proximamente dado por onde . Determine a velocidade do equipamento como uma função de e encontre a deflexão máxima do equipamento.
Passo 1
Vamos pensar nas três energia envolvidas aqui: a energia cinética, a potencial gravitacional e a potencial elástica.
Como o equipamento é liberado do repouso, com a mola sem deformações e em uma altura , podemos dizer que os três valores iniciais da energia são nulos, de forma que:
E como temos duas molas sustentando o equipamento, a energia potencial elástica é:
Agora vamos usar as aproximações dadas no enunciado:
Como sabemos o cosseno do ângulo, é útil reescrever a equação da seguinte forma:
Passo 2
E agora, pela lei de conservação de energia, podemos dizer que a soma dessas três variações é sempre nula:
E agora podemos isolar para encontrar a função que foi pedida no enunciado:
Passo 3
E para achar um valor máximo de , precisamos encontrar seus pontos críticos:
A primeira solução dessa equação é , o que corresponde ao mínimo do deslocamento, e a outra solução é:
E essa é a deflexão máxima do equipamento.
Resposta
A velocidade é dada por e a deflexão máxima é .