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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 57

Para um estado plano de tensões é conhecido que as tensões, normal e de cisalhamento, são dirigidas como indicado e que σ x = 90   M P a , σ y = 45   M P a e σ m í n = 30   M P a . Determinar: (a) a orientação dos planos principais; (b) a tensão principal σ m á x ; (c) a máxima tensão de cisalhamento, no plano.

Passo 1

a) O que a gente precisa fazer aqui é usar o Círculo de Mohr para descobrir o ângulo θ p e seu sentido, porque ele define a orientação dos planos principais.

E como a gente faz isso? Vamos tentar montar esse círculo com as informações que a gente tem. Vamos listar:

- a tensão normal no eixo x é positiva porque está saindo da seção e vale: σ x = 90   M P a

- a tensão normal no eixo y é positiva porque está saindo da seção e vale: σ y = 45   M P a

- tensão normal mínima vale: σ m í n = 30   M P a

- vamos considerar o cisalhamento positivo, como está na figura.

Bora começar!

Passo 2

Achando a coisinhas que a gente precisa para montar o Círculo de Mohr: vamos calcular as coordenadas de X , Y , o centro   C e o raio R . Temos que:

X = σ x ,   - τ x y = 90 ,   - τ x y

Y = σ y ,   τ x y = 45 ,   τ x y

σ m é d i o = σ x + σ y 2 = 67,5   M P a

C = σ m é d i o , 0 = 67,5 ,   0

σ m í n = σ m é d i o - R ∴ R = σ m é d i o - σ m í n = 37,5   M P a

Colocando essas coisas no Círculo:

Passo 3

Olhando para esse círculo lindão, vemos que podemos dizer que:

d = σ y - σ x 2 = 45 - 90 2 = 22,5   M P a

cos ⁡ 2 θ p = d R = 22,5 37,5 ∴ θ p = 26,57 °

E a gente precisa girar nossa reta no sentido anti-horário para chegar no eixo horizontal. Para descobrir o ângulo do outro plano é só substrair 90 ° dele. Dá:

θ p 2 = 63,43 °

Só que no sentido horário.

Passo 4

b) Agora a gente quer a tensão principal σ m á x . Podemos achar ela pela expressão:

σ m á x = σ m é d i o + R = 67,5 + 37,5 = 105   M P a

Passo 5

c) Agora a gente quer a tensão de cisalhamento máximo. Aqui é só lembrar que:

τ m á x = R = 37,5   M P a

Resposta

(a) θ p = 26,57 ° no sentido anti-horário e θ p 2 = 63,43 ° no sentido horário.

(b)   σ m á x = 105   M P a

(c)   τ m á x = 37,5   M P a

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