Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 59
Para um estado plano de tensões é conhecido que, para cada uma das duas orientações indicadas para os eixos coordenados, as tensões, normal e de cisalhamento, são dirigidas como mostrado, e as intensidades das tensões normais e , são respectivamente iguais a , e . Determinar: (a) os planos e as tensões principais; (b) a tensão de cisalhamento máxima, no plano.
Passo 1
a) O que a gente precisa fazer aqui é usar o Círculo de Mohr para descobrir o ângulo e seu sentido, porque ele define a orientação dos planos principais. E depois descobrir as tensões principais.
E como a gente faz isso? Vamos tentar montar esse círculo com as informações que a gente tem. Vamos listar:
- a tensão normal no eixo é positiva porque está saindo da seção e vale:
- a tensão normal no eixo é positiva porque está saindo da seção e vale:
- a tensão normal no eixo é positiva porque está saindo da seção e vale:
- vamos considerar o cisalhamento positivo, como está na figura.
Bora começar!
Passo 2
Achando a coisinhas que a gente precisa para montar o Círculo de Mohr: vamos calcular as coordenadas de , , o centro e o raio . Temos que:
Só não conseguimos achar o raio ainda. Vamos desenhar com um raio genérico e o plano de , só para peceber uma coisinha. Como no elemento, está no sentido anti-horário, a gente marca o dobro dele no sentido anti-horário.
No plano de a gente tem cisalhamento negativo. E aí a gente pode lembrar que para esse caso:
Passo 3
Olhando para esse círculo lindão, percebemos umas coisinhas:
Ufa! A gente achou o primeiro ângulo que define os planos principais. E a gente precisa girar nossa reta no sentido anti-horário para chegar no eixo horizontal. Para descobrir o ângulo do outro plano é só substrair dele. Dá:
Só que no sentido horário.
Passo 4
Poxa, mas quem é o raio? É só substituir o ângulo em uma das equações que a gente usou:
Aí a gente consegue achar as tensões principais:
Passo 5
b) Agora a gente quer a tensão de cisalhamento máximo. Aqui é só lembrar que:
Resposta
(a) no sentido anti-horário e no sentido horário.
(b)
(c)