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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 69

Para o estado plano de tensões mostrado, determinar a máxima tensão de cisalhamento, quando: (a) τ y z = 120   M P a ; (b) τ y z = 55   M P a ; (c) τ y z = 0 .

Passo 1

Para resolver essa questão a primeira coisa e a mais importante é saber identificar corretamente as tensões normais e cisalhantes, neste caso será o seguinte:

Letra A)

σ x = - 2 0   M P a

σ z = 8 0   M P a

τ y z = 12 0   M P a

Depois vamos calcular a tensão normal média e o raio do ciclo de mohr. Com isso vamos poder achar a tensão cisalhante máxima.

Passo 2

Vamos achar a tensão média, que é o centro do ciclo de mohr da seguinte forma:

σ m é d = σ z + σ x 2

σ m é d = 80 - ( - 20 ) 2

σ m é d = 50   M P a

Passo 3

Achar o raio do ciclo de Mohr:

R = σ z - σ x 2 2 + τ y z 2

R = 80 - ( - 2 0 ) 2 2 + 80 ²

R = 8900

R = 94   M P a

Passo 4

Para achar a tensão cisalhante nos pontos extremos co círculo (A e B):

σ A = σ m é d + R

σ A = 50 + 94 = 144   M P a

σ B = σ m é d - R

σ B = 50 - 94 = - 44   M P a

Passo 5

Agora vamos achar a tensão cisalhante máxima no plano:

τ m á x   p l a n o = 1 2 σ A - σ B

τ m á x   p l a n o = R = 94   M P a

Considerando fora do plano vamos ter:

τ m á x = 1 2 σ m á x - σ m í n

τ m á x = 1 2 144 - ( - 44 )

τ m á x = 94   M P a

Passo 6

Para a letra B)

σ x = - 2 0   M P a

σ z = 80   M P a

τ y z = 55   M P a

Depois vamos calcular a tensão normal média e o raio do ciclo de mohr. Com isso vamos poder achar a tensão cisalhante máxima.

Passo 7

Vamos achar a tensão média, que é o centro do ciclo de mohr da seguinte forma:

σ m é d = σ z + σ y 2

σ m é d = 80 - ( - 20 ) 2

σ m é d = 5 0   M P a

Passo 8

Achar o raio do ciclo de Mohr:

R = σ z - σ y 2 2 + τ x y 2

R = 80 - ( - 2 0 ) 2 2 + 55 ²

R = 5525

R = 74   M P a

Passo 9

Para achar a tensão cisalhante nos pontos extremos co círculo (A e B):

σ A = σ m é d + R

σ A = 5 0 + 74 = 124   M P a

σ B = σ m é d - R

σ B = 5 0 - 74 = - 24   M P a

Passo 10

Agora vamos achar a tensão cisalhante máxima no plano:

τ m á x   p l a n o = 1 2 σ A - σ B

τ m á x   p l a n o = R = 74   M P a

Considerando fora do plano vamos ter:

τ m á x = 1 2 σ m á x - σ m í n

τ m á x = 1 2 124 - ( - 24 )

τ m á x = 74   M P a

Passo 11

Para a letra c)

σ x = - 2 0   M P a

σ z = 80   M P a

τ y z = 0   M P a

Depois vamos calcular a tensão normal média e o raio do ciclo de mohr. Com isso vamos poder achar a tensão cisalhante máxima.

Passo 12

Vamos achar a tensão média, que é o centro do ciclo de mohr da seguinte forma:

σ m é d = σ z + σ y 2

σ m é d = 80 - ( - 2 0 ) 2

σ m é d = 5 0   M P a

Passo 13

Achar o raio do ciclo de Mohr:

R = σ z - σ y 2 2 + τ x y 2

R = 80 - ( - 2 0 ) 2 2 + 0 ²

R = 50 ²

R = 50   M P a

Passo 14

Para achar a tensão cisalhante nos pontos extremos co círculo (A e B):

σ A = σ m é d + R

σ A = 5 0 + 50 = 100   M P a

σ B = σ m é d - R

σ B = 5 0 - 50 = 0   M P a

Passo 15

Agora vamos achar a tensão cisalhante máxima no plano:

τ m á x   p l a n o = 1 2 σ A - σ B

τ m á x   p l a n o = R = 50   M P a

Considerando fora do plano vamos ter:

τ m á x = 1 2 σ m á x - σ m í n

τ m á x = 1 2 100 - 0

τ m á x = 50   M P a

Resposta

a)

τ m á x = 94   M P a

b)

τ m á x = 74   M P a

c)

τ m á x = 50   M P a

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