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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 72

Para o estado plano de tensões mostrado, determinar a máxima tensão de τ x y para que a máxima tensão de cisalhamento seja de: (a) 6 0   M P a ; (b) 78   M P a .

Passo 1

Para resolver essa questão a primeira coisa e a mais importante é saber identificar corretamente as tensões normais e cisalhantes, neste caso será o seguinte:

σ x = 100   M P a

σ y = 40   M P a

Passo 2

Vamos achar a tensão média, que é o centro do ciclo de mohr da seguinte forma:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = 100 + 40 2

σ m é d = 70   M P a

Passo 3

Vamos assumir que a tensão mínima é igual a zero, assim vamos obter que:

σ m á x = 2 ⋅ τ m á x

Para a letra A:

σ m á x = 2 ⋅ 60 = 120   M P a

Passo 4

Agora vamos calcular o Raio do ciclo de mohr:

R 2 = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Como o raio é igual a:

R = σ m á x - σ m é d

R = 120 - 70 = 50   M P a

Substituindo:

50 2 = 100 - 40 2 2 + τ x y 2

τ x y 2 = 2500 - 900 = 1600

τ x y = 1600 = 40   M P a

Passo 5

Vamos assumir que a tensão mínima é igual a zero, assim vamos obter que:

σ m á x = 2 ⋅ τ m á x

Para a letra B:

σ m á x = 2 ⋅ 78 = 156   M P a

Passo 6

Agora vamos calcular o Raio do ciclo de mohr:

R 2 = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Como o raio é igual a:

R = σ m á x - σ m é d

R = 156 - 70 = 86   M P a

Perceba que se o raio vale 86   M P a e o valor médio vale 70   M P a então haverá uma parte negativa, logo devemos fazer R = τ m á x

Substituindo:

78 2 = 100 - 40 2 2 + τ x y 2

τ x y 2 = 6084 - 900 = 5184

τ x y = 5184 = 72   M P a

Resposta

a)

τ x y = 40   M P a

b)

τ x y = 72   M P a

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