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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 56

Para o estado plano de tensões mostrado, determinar a variação dos valores de θ , para que a tensão normal σ x ' seja igual ou inferior que + 65   M P a .

Passo 1

O que a gente precisa fazer aqui é usar o Círculo de Mohr para descobrir os intervalos para θ nos quais a tensão em x após a rotação seja no máximo igual a σ x ' = + 65   M P a .

E como a gente faz isso? Vamos tentar montar esse círculo com as informações que a gente tem. Vamos listar:

- a tensão normal no eixo x é positiva porque está saindo da seção e vale: σ x = 60   M P a

- a tensão normal no eixo y é negativa porque está entrando na seção e vale: σ y = - 20   M P a

- tensão de cisalhamento está no sentido positivo e vale: τ x y = 30   M P a

Bora começar!

Passo 2

Achando a coisinhas que a gente precisa para montar o Círculo de Mohr, vamos achar as coordenadas de X , Y e o centro   C . Temos que:

X = σ x ,   - τ x y = 60 ,   - 30

Y = σ y ,   τ x y = - 20 ,   + 30

σ m é d i o = σ x + σ y 2 = 20   M P a

C = σ m é d i o , 0 = 20 ,   0

Colocando essas coisas no Círculo:

Passo 3

Aí a gente consegue achar o raio R com as relaçõezinhas de triângulo retângulo:

d = σ y - σ x 2 = - 20 - 60 2 = 40   M P a

R = d 2 + τ x y 2 = 40 2 + 30 2 = 50   M P a

E θ p :

t g   2 θ p = τ x y d = 3 4 ∴ θ p = 18,43 °

Passo 4

Tá, e agora o que a gente faz com isso tudo? Bem a gente marca no Círculo onde x ' tem tensão de σ = 6 5   M P a :

Conseguimos tirar essas relações daí:

d 1 = σ x ' - σ m é d i o = 65 - 20 = 45   M P a

cos ⁡ 2 ϕ = d 1 R ∴ cos ⁡ 2 θ = 45 50 ∴ ϕ = 12,92 °

Repara que para X chegar em X 2 ' , ele precisa girar no sentido anti-horário, um ângulo que vale:

2 θ 2 = 2 θ p - 2 ϕ ∴ θ 2 = θ p - ϕ = 18,43 ° - 12,92 ° = 5,51 °

Já para chegar em X 1 ' , X vai precisar girar no sentido horário, um ângulo que vale:

2 θ 1 = 360 - 2 θ p + ϕ ∴ θ 1 = 180 - θ p + ϕ = 148,65 °

Aí nosso intervalinho fica:

- 148,65 ° ≤ θ ≤ 5,51 °

Resposta

- 148,65 ° ≤ θ ≤ 5,51 °

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Sabendo-se que σ a d m = 150M P a e τ a d m = 100M P a , selecionar o perfil laminado I para a viga, que poder ser usado para suportar o carregamento distribuído dado, quando este é colocado sobre o s