Enunciado

O estado de tensões mostrado ocorre em um componente de máquina, que é feito de um aço para o qual σ e = 41 5   M P a . Usando o critério da máxima energia de distorção, determinar a variação dos valores de σ x , de tal modo que o coeficiente de segurança, em relação a tensão de escoamento, seja igual ou superior a 2,5 .

Passo 1

Oi, galera bonita! Tudo na paz? Espero que sim! Sem enrolação, bora entender o que o resultado pediu e saber como resolver a questão!

O enunciado nos mostra uma figura com um estado de tensões e pede para a gente determinar quais os valores de σ x fazem o coeficiente de segurança C S ser maior ou igual a C S ≥ 2,5 , usando o critério da máxima energia de distorção. A figura abaixo mostra o estado de tensões do componente.

O critério da máxima energia de distorção usa as tensões principais σ a , σ b e σ c .

O cálculo do coeficiente de segurança C S através desse critério é realizado, reorganizando a equação 10.36 do livro.

σ a - σ b 2 + σ b - σ c 2 + σ c - σ a 2 = 2 σ e C S 2

C S = 2 σ e 2 σ a - σ b 2 + σ b - σ c 2 + σ c - σ a 2

2,5 ≤ 2 σ e 2 σ a - σ b 2 + σ b - σ c 2 + σ c - σ a 2

σ a - σ b 2 + σ b - σ c 2 + σ c - σ a 2 ≤ 2 σ e 2,5 2

onde σ e é a tensão de resistência ao escoamento do latão dada pelo enunciado σ e = 41 5   M P a . σ c depende de σ x .

Essa equação mostra que determinar os valores de σ x que fazem C S ≥ 2,5 é a mesma coisa que garantir que o lado esquerdo da inequação vai sempre ser menor ou igual ao lado direito.

Para garantir isso precisamos achar σ a , σ b e σ c no próximo passo!

Passo 2

Para calcular as tensões principais σ a , σ b e σ c , usaremos as equações de tensões principais abaixo, substituindo σ x , σ y , σ z e τ y z da figura.

σ a = σ y + σ z 2 + σ y - σ z 2 2 + τ y z 2

σ a = 0 + 80 2 + 0 - 80 2 2 + 55 2     ⟹     σ a = 108   M P a

σ b = σ y + σ z 2 - σ y - σ z 2 2 + τ y z 2

σ b = 0 + 80 2 - 0 - 80 2 2 + 55 2     ⟹     σ b = - 28   M P a

σ c = σ x

Agora estamos prontos para substituir as tensões principais na equação do critério de máxima energia de distorção e achar os valores de σ x que queremos.

Passo 3

Vamos substituir σ a , σ b e σ c na equação do critério de máxima energia de distorção e resolver a questão!

σ a - σ b 2 + σ b - σ c 2 + σ c - σ a 2 ≤ 2 σ e 2,5 2

108 - - 28 2 + - 28 - σ x 2 + σ x - 108 2 ≤ 2 × 415 2,5 2

18496 + 784 + 56 σ x + σ x 2 + σ x 2 - 216 σ x + 11664 ≤ 55112

2 σ x 2 - 1 60 σ x - 24168 ≤ 0

σ x 2 - 8 0 σ x - 12084 ≤ 0

Vemos que a inequação acima é de segundo grau. Isso significa que, para encontrar os valores de σ x que fazem o lado esquerdo permanecer menor ou igual a zero, precisamos achar as raízes através da fórmula de Bhaskara. Para usar essa fórmula, vamos reconhecer primeiro os valores dos coeficientes do polinômio de segundo grau.

σ x 2 - 80 σ x - 12084 a x 2 + b x + c       ⟹       a = 1 b = - 8 0 c = - 12084

Agora vamos substituir esses coeficientes na fórmula de Bhaskara.

σ x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

σ x 1,2 = - - 8 0 ± - 8 0 2 - 4 × 1 × - 12084 2 × 1

σ x 1 = - 77,0   M P a

σ x 2 = 157,0   M P a

Esses dois valores σ x 1 e σ x 2 são os limites de σ x . Isso quer dizer que σ x deve ficar na faixa de valores mostrados abaixo.

σ x 1 ≤ σ x ≤ σ x 2

- 77   M P a ≤ σ x ≤ 157,0   M P a

Aeeee! Terminamos a questão! Mandamos muito bem!

Resposta

- 77   M P a ≤ σ x ≤ 157,0   M P a

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