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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 74

Um fio homogêneo de comprimento V é dobrado como mostrado e pode oscilar em torno de um pino sem fricção em B. Denotando por τ 0 o período de pequenas oscilações quando β = 0, determine o ângulo β para o qual o período de pequenas oscilações é 2 τ 0 .

Passo 1

Denotamos por m a massa de metade do arame

Posição 1 – máxima deflexão

T 1 = 0 , V 1 = - m g l 2 c o s ⁡ θ m - β - m g 1 2 c o s ⁡ θ m + β = - m g l 2 c o s ⁡ θ m c o s ⁡ β + s i n ⁡ θ m s i n ⁡ β + c o s ⁡ θ s t c o s ⁡ β - s i n ⁡ θ m s i n ⁡ β

V 1 = - m g l c o s ⁡ β c o s ⁡ θ m

Para pequenas oscilações

c o s ⁡ θ m ≈ 1 - 1 2 θ m 2

V 1 = - m g / c o s ⁡ β + 1 2 m g / c o s ⁡ β θ m 2

Passo 2

Posição 2 – máxima velocidade

T 2 = 1 2 I B θ ˙ m 2  mas   I B = 2 1 3 m l 2

Então

T 2 = 1 2 2 3 m l 2 θ ˙ m 2

V 2 = - 2 m g l 2 c o s ⁡ β = - m g l c o s ⁡ β

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

- m g l c o s ⁡ β + 1 2 m g l c o s ⁡ β θ m 2 = 1 3 m l 2 θ ˙ m 2 - m g l c o s ⁡ β

Deixando

θ ˙ m = θ i n ω n 1 2 m g l c o s ⁡ β θ m 2 = 1 3 m l 2 θ m 2 ω n 2

ω n 2 = 3 g 2 l c o s ⁡ β τ = 2 π ω n = 2 π 2 l 3 g c o s ⁡ β (1)

Mas para β = 0 τ 0 = 2 π 2 l 3 g

Para

τ = 2 τ 0 2 π 2 l 3 g c o s ⁡ β = 2 2 π 2 l 3 g

1 cos ⁡ β = 4               c o s ⁡ β = 1 4

β = 75.5 ∘

Resposta

β = 75.5 ∘

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