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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 67

Uma placa retangular delgada de lados aeb é suspensa por quatro fios verticais do mesmo comprimento l. Determine o período de pequenas oscilações da placa quando (a) ela é girada em um pequeno ângulo em torno de um eixo vertical através de seu centro de massa G , (b) é dado um pequeno deslocamento horizontal em uma direção perpendicular a AB, (c) é dado um pequeno deslocamento horizontal em uma direção perpendicular a BC.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o período de pequenas oscilações da placa quando (a) ela é girada em um pequeno ângulo em torno de um eixo vertical através de seu centro de massa G , (b) é dado um pequeno deslocamento horizontal em uma direção perpendicular a AB, (c) é dado um pequeno deslocamento horizontal em uma direção perpendicular a BC.

Passo 2

(a) Placa é rodada sobre eixo vertical

Similarmente para C, D e C

Σ M G = Σ M Q e f f : - 4 T r l θ ⋅ r = J - θ ¨ T = m g 4

θ ¨ = m g t 2 J l θ = 0 J - = 1 12 m a 2 + b 2

r 2 = 1 4 a 2 + b 2

τ n = 2 π ω n = 2 π l - m g r 2 τ n = 2 π 1 12 m a 2 + b 2 l m g 4 l a 2 + b 2 = 2 π 1 3 g

Passo 3

(b) Placa é movida horizontalmente

A placa está em translação curvilínea

s i n ⁡ θ = θ c o s ⁡ θ = 1

l θ ¨ c o s ⁡ θ ≈ ∣ θ ¨ ≅ a

+ ↑ ∑ F y = 0 = 4 ( T c o s ⁡ θ ) - m g = 0

T = m g 4

+ ⟶ Σ F H = Σ F H e n : - 4 T s i n ⁡ θ = m a -

l θ ¨ + g θ = 0

τ n = 2 π I g

Passo 4

(c)Visto que a oscilação em torno dos eixos paralelos a AB (e CD) é independente do comprimento dos lados da placa, o período de vibração em torno dos eixos paralelos a BC (e AD) é o mesmo.

τ n = 2 π l g

Resposta

(a) τ n =   2 π 1 3 g

(b) τ n = 2 π I g

(c) τ n = 2 π l g

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