Enunciado

A força de 5   k N é vertical, a força Q é horizontal, e ambas as forças atuam em planos perpendiculares ao eixo maciço A D . Sabendo-se que τ a d m = 45   M P a , determinar o menor diâmetro permissível para o eixo A D .

Passo 1

Fala aí, galera! Essa questão faz um pedido bem simples, achar o diâmetro do nosso eixo! Para fazer isso vamos ter que utilizar a seguinte equação:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

Onde J é o momento polar de inércia c é o raio, M o momento fletor e T a torção, além disso temos também a máxima tensão de cisalhamento admissível τ a d m .

Então a gente tem que calcular basicamente a torção e o momento fletor no eixo, para calcular isso vamos ter que primeiro achar as reações nos pontos B e D então vamos lá!

Passo 2

Para começar o problema a gente vai ter que calcular as reações nos pontos B e D conforme o desenho abaixo vamos fazer isso começando pelas relações de forças:

utilizando as equações da estática vamos ter:

∑ F y = 0

∑ F z = 0

Resolvendo:

∑ F y = 0

B y + D y - 5 = 0

B y + D y = 5

Para as forças em z :

∑ F z = 0

- B z - Q - D z = 0

B z + D z = - Q

Passo 3

Agora vamos partir para os momentos.

∑ M x = 0

∑ M y = 0

∑ M z = 0

Para o momento em y em relação ao ponto D :

∑ M y D = 0

- B z × 0,500 - ( Q × 0,250 ) = 0

Logo

B z = - Q 2

Substituindo na equação:

B z + D z = - Q

vamos ter:

D z = - Q 2

Agora o momento em z em relação ao ponto D :

∑ M z D = 0  

5 × 0,580 - B y × 0,500 = 0

B y = 5,8   k N

Podemos substituir na equação:

B y + D y = 5

E obter:

D y = - 0,8   k N

Agora o momento em x novamente em relação ao ponto D :

∑ M z D = 0  

5 × 0,150 - Q × 0,200 = 0

Q = 3,75   k N

Então nós achamos todos os valores que queríamos:

B z = - Q 2

D z = - Q 2

B y = 5,8   k N

D y = - 0,8   k N

Q = 3,75   k N

Podemos ainda substituir Q em B z e D z :

B z = D z = - 1,875   k N

B y = 5,8   k N

D y = - 0,8   k N

Q = 3,75   k N

Passo 4

Neste passo vamos calcular o torque de cada seção, para isso vamos dividir em duas partes A C e C D . Vamos começar pela parte A C :

Lembrando que o torque é calculado como:

T = F × d

De A até C existe apenas um torque, o da força de 5   k N então vamos ficar com:

T A C = 5 × 10 3 0,150

T A C = 750   N . m

E vamos calcular o torque em C D , aqui o torque da força de 5 k N anula o torque da força Q assim:

T C D = 0

Show de bola!

Passo 5

Agora temos de calcular também os momentos fletores de cada seção. Para fazer isso fica mais fácil se fizermos um diagrama com os dados que achamos no passo 3:

B z = D z = 1,875   k N

B y = 5,8   k N

D y = 0,8   k N

Q = 3,75   k N

obs: Aqui os sinais negativos foram retirados porque já foram compensados nos sentidos das forças.

Mas para ficar mais fácil vamos dividir em duas figuras, uma mostrando apenas as forças em y e outra apenas as força em z . Vamos começar pelas forças em y :

Com isso vamos poder calcular os momentos que serão iguais a:

M A = M D = 0

M B = - 5.10 3 × 0,080 = - 400   N . m

M C = 0,8.10 3 × 0,330 - ( 5,8.10 3 × 0,080 )

M C = - 200   N . m

Colocando num gráfico vamos ter:

Agora vamos olhar para os momentos em z :

M A = M D = M B = 0

M C = 1,875 - 3,75 × 0,33 + 3,75 × 0,33 - 1,875 × 0,080

M C = 0,468   k N

M C = 468   N . m

No gráfico vamos ter:

Beleza, agora temos todos os momentos e torques atuantes na barra!

Passo 6

Agora vamos aplicar a relação entre torque e tensão cisalhante que é dada por:

J c = M 2 + T 2 τ a d m

No nosso caso como temos momento em mais de um eixo vamos ter:

J c = M z 2 + M y 2 + T 2 τ a d m

Agora vamos ter que pegar a seção do eixo que irá fornecer o maior valor de:

M z 2 + M y 2 + T 2

Então vamos ter que utilizar o ponto B . Obtendo:

M y = 200   N . m

M z = 500   N . m

T = 750   N . m

M z 2 + M y 2 + T 2 = 200 2 + 500 2 + 750 2

J c = 852 500 τ a d m

Passo 7

Precisamos calcular o valor do momento polar de inércia:

J = π d 4 32

c = d 2

Então vamos ter:

J c = π d 3 16

Substituindo na equação:

π d 3 16 = 8525 00 45 × 10 6

π d 3 16 = 923,31 45 × 10 6

d = 0,047   m

d = 47   m m

Resposta

d = 47   m m

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