Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 186
Para o gancho de guindaste mostrado na figura, determine a maior tensão de tração na seção a-a.
Passo 1
Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer nesse exercício é separar o trapézio em dois triângulos, para poder encontrar o raio médio da seção, que será dado por:
Então, dividindo a seção em duas, teremos:
Então, sabendo que a área de um triângulo é dada por:
Para a área 1, teremos:
Agora, para a área 2, teremos:
Agora, precisamos encontrar a localização do centroide de cada uma das duas áreas. Sabendo que o centroide de um triângulo está localizado a 1/3 da sua altura (medindo a partir da base), ficou fácil. Para o triângulo 1, teremos:
Agora, para o triângulo 2, teremos:
Agora conseguimos encontrar o centroide da seção. Então, substituindo os valores conhecidos na primeira equação do passo 1, temos:
Passo 2
Agora vamos escrever o raio interno da seção, que pode ser visto através da figura do enunciado como a distância do centroide C até a base do trapézio, então temos:
Agora, para o raio externo da seção, que será dado pelo raio interno mais a altura do trapézio, temos:
Agora, para encontrar a localização do raio da superfície neutra da seção, vamos recorrer a fórmula para a seção trapezoidal apresentada na figura 4.61 dessa seção, dada por:
Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Passo 3
Agora podemos encontrar a excentricidade da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:
Substituindo os valores conhecidos, teremos:
Agora para encontrar a maior tensão na seção a-a, vamos calcular a tensão na base do trapézio, em . Então, utilizando a equação 4.71 para a tensão gerada pelo momento, temos:
Agora devemos lembrar que temos a força de 15 kN que exerce tração na seção, então a tensão total nesse ponto será:
Agora, precisamos encontrar o valor do momento resultante da força de 15 kN aplicada no sistema. Sabendo que a força está aplicada no centroide, o momento binário gerado terá como braço de alavanca a distância , que é a distância até o centroide da seção trapezoidal. Dessa forma, o momento resultante será:
Substituindo os valores conhecidos, temos:
Agora, substituindo os valores conhecidos na equação para a tensão, temos: