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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 183

Sabendo que o componente de máquina mostrado na figura tem uma seção transversal trapezoidal com a = 88,9   m m e b = 63,5   m m , determine a tensão no (a) ponto A e (b) ponto B.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer nesse exercício é separar o trapézio em dois triângulos, para poder encontrar o raio médio da seção, que será dado por:

r - = ∑ A i r - i ∑ A

Então, dividindo a seção em duas, teremos:

Então, sabendo que a área de um triângulo é dada por:

A = b h 2

Para a área 1, teremos:

A 1 = 0,0889 0,1524 2 → A 1 = 6,7742.10 - 3   m 2

Agora, para a área 2, teremos:

A 2 = 0,0635 0,1524 2 → A 2 = 4,8387.10 - 3   m 2

Agora, precisamos encontrar a localização do centroide de cada uma das duas áreas. Sabendo que o centroide de um triângulo está localizado a 1/3 da sua altura (medindo a partir da base), ficou fácil. Para o triângulo 1, teremos:

r - 1 = 101,6 + 152,4 3 → r - 1 = 152,4   m m = 0,1524   m

Agora, para o triângulo 2, teremos:

r - 2 = 101,6 + 2 ( 152,4 ) 3 → r - 2 = 203,2   m m = 0 , 2032   m

Agora conseguimos encontrar o centroide da seção. Então, substituindo os valores conhecidos na primeira equação do passo 1, temos:

r - = ∑ A i r - i ∑ A = 6,7742.10 - 3 0,1524 + 4,8387.10 - 3 0,2032 6,7742.10 - 3 + 4,8387.10 - 3

r - = 0 , 17357   m

Passo 2

Agora vamos escrever o raio interno da seção, que pode ser visto através da figura do enunciado como a distância do centroide C até a base do trapézio, então temos:

r 1 = 101,6   m m = 0 , 1016   m

Agora, para o raio externo da seção, que será dado pelo raio interno mais a altura do trapézio, temos:

r 2 = r 1 + h = 101,6 + 152,4 → r 2 = 254   m m = 0 , 254   m

Agora, para encontrar a localização do raio da superfície neutra da seção, vamos recorrer a fórmula para a seção trapezoidal apresentada na figura 4.61 dessa seção, dada por:

R = 1 2 h 2 b 1 + b 2 b 1 r 2 - b 2 r 1 ln ⁡ r 2 r 1 - h b 1 - b 2  

Então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = 1 2 0,1524 2 0,0889 + 0,0635 0 , 0889 0,254 - 0,0635 0,1016 ln ⁡ 0,254 0 , 1016 - 0,1524 0,0889 - 0,0635

R = 1,7698 . 10 - 3 14,7788 . 10 - 3 - 3,87096 . 10 - 3 → R = 0,16225   m

Passo 3

Agora podemos encontrar a excentricidade e da seção, que é a distância entre a linha neutra e o centroide da seção, através de:

e = r - - R

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

e = 0,17357 - 0,16225 → e = 11,3197 . 10 - 3   m

Agora para encontrar a tensão no ponto A pedida na letra (a), vamos utilizar a equação 4.71 vista nessa seção, onde temos:

σ = M r - R A e r

No ponto A temos r = r A = 101,6   m m , então a equação acima se torna:

σ A = M r A - R A e r A

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ A = 9038 0,1016 - 0,16225 6,7742.10 - 3 + 4,8387.10 - 3 11,3197 . 10 - 3 0 , 1016

σ A = - 41,04   M P a

Passo 4

Agora para encontrar a tensão no ponto B pedida na letra (b), nós vamos repetir o último cálculo do passo 2, só que agora com r = r B = r 2 = 0,254   m . Então a equação 4.71 se torna:

σ B = M r B - R A e r B

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ B = 9038 0,254 - 0,16225 6,7742.10 - 3 + 4,8387.10 - 3 11,3197.10 - 3 0 , 254

σ B = 24,83   M P a

Resposta

a :   σ A = - 41,04   M P a

b :   σ B = 24,83   M P a

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