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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 153

No instante mostrado, o barco A se desloca com uma velocidade de 15 m/s, que está diminuindo a 3 m/s², enquanto o barco B se desloca com uma velocidade de 10 m/s, que está aumentando a 2 m/s². Determine a velocidade e a aceleração do barco A em relação ao barco B nesse instante.

Passo 1

Começaremos o exercício esquematizando o eixo de referência para rotação xyz, que estará sob o barco B conforme esquematizado na figura a seguir:

Uma vez que os barcos A e B se movem numa trajetória circular, suas componentes normais da aceleração podem ser dada por:

a A n = v A 2 ρ = 15 2 50 → a A n = 4,5   m / s 2

a B n = v B 2 ρ = 10 2 50 → a B n = 2   m / s 2

Sendo assim, o movimento dos barcos A e B com relação ao eixo de referência XYZ é:

v → A = 15 j   m / s

a → A = - 4,5 i → - 3 j →   m / s 2

v → B = - 10 j →   m / s

a → B = 2 i → - 2 j →   m / s 2

Sua velocidade e aceleração angular pode ser dada por:

ω = v B ρ = 10 50 → ω = 0,2   r a d / s = 0,2 k →   r a d / s

ω ˙ = a B t ρ = 2 50 → ω ˙ = 0,04   r a d / s 2 = 0,04 k →   r a d / s 2

Passo 2

E da figura apresentada no passo 1:

r → A / B = - 20 i →   m

Agora iremos aplicar a equação da velocidade relativa para os pontos A e B:

v → A = v → B + ω × r → A / B + v → r e l x y z

15 j → = - 10 j → + 0,2 k → × - 20 i → + v → r e l x y z

15 j → = - 14 j → + v → r e l x y z

v → r e l x y z = 29 j →   m / s

Passo 3

Agora iremos aplicar a equação da aceleração relativa para os pontos A e B com base no diagrama do passo 1:

a → A = a → B + ω ˙ A B × r → A / B + ω A B × ω A B × r → A / B + 2 ω A B × v r e l x y z + a r e l x y z

- 4,5 i → - 3 j → = 2 i → - 2 j → + 0,04 k → × - 20 i → + 0,2 k → × 0,2 k → × - 20 i → + 2 0,2 k → × 29 j → + a r e l x y z

- 4,5 i → - 3 j → = - 8,8 i → - 2,8 j → + a → r e l x y z

a → r e l x y z = 4,3 i → - 0,2 j →   m / s 2

Resposta

v → r e l x y z = 29 j →   m / s

a → r e l x y z = 4,3 i → - 0,2 j →   m / s 2

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