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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 82

94. Se a intensidade do momento de binário que age sobre a tubulação é 50   N ⋅ m , determine a intensidade das forças de binário aplicadas em cada chave. A tubulação está no plano x - y .

Passo 1

Vamos calcular o momento de binário na forma vetorial, então:

M → = ( r → × F → ) = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição das forças referentes a um certo ponto, no nosso caso vamos escolher a origem do sistema de coordenadas.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Se você reparar na figura, a força só tem componente em z .

Vamos adotar o sentido anti-horário como positivo.

A figura nos fornece as distâncias em m m , mas vamos passá-las para m .

Passo 2

Teremos que calcular um momento para cada força e depois somá-los para obter o resultante.

Teremos um vetor posição para F e - F .

Para F podemos ver na imagem que:

r → F = 0,3 i + 0,8 j + 0 k

Para - F teremos:

r → - F = 0,2 i + 0,3 j + 0 k

Passo 3

Agora vamos calcular o momento para cada força e depois somá-los:

Primeiro para F :

M F → = ( r F → × F → ) = i j k 0,3 0,8 0 0 0 F

= 0,8 ⋅ F - 0 i - 0,3 ⋅ F - 0 j + 0 - 0 k

= { 0,8 F i - 0,3 F j + 0 k }

Agora para - F :

M - F → = ( r - F → × ( - F → ) ) = i j k 0,2 0,3 0 0 0 - F

= - 0,3 ⋅ F - 0 i - - 0,2 ⋅ F - 0 j + 0 - 0 k

= { - 0,3 F i + 0,2 F j + 0 k }

Vamos somá-los para obter o momento resultante que queremos:

M R → = { 0,8 F i - 0,3 F j + 0 k } + { - 0,3 F i + 0,2 F j + 0 k }

= { 0,5 F i - 0,1 F j + 0 k }

Para achar intensidade, basta calcular o módulo desse vetor.

50 = ( 0,5 F ) 2 + - 0,1 F 2 + 0 2

⇒ 50 = 0,25 F 2 + 0,01 F 2

⇒ 50 = 0,26 F 2

⇒ 2500 = 0,26 F 2

⇒ F = 9615,38 = 98,1

Resposta

A força deve ter intensidade igual:

F = 98,1   N

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