Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 132
Os lados e a base de uma poncheira têm espessura uniforme . Se e , determine a localização do centro de gravidade da poncheira, do ponche.
Passo 1
Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que vamos analisar será a poncheira, sendo assim, podemos notar que pela sua simetria, teremos . Ok, agora, para analisar a poncheira, iremos aproxima-la como se fosse uma casca, então, o centro de massa será o mesmo da casca. Para as paredes da poncheira, vamos obter o elemento diferencial de área rotacionando um arco de comprimento ao redor do eixo , onde:
Então, o elemento diferencial de área será:
Passo 2
Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:
Resolvendo as integrais, temos:
Substituindo os limites de integração:
Então, simplificando a expressão, temos a área para a figura gerada:
Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em com a área da superfície em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada:
Dessa forma, a expressão que relaciona o centro de massa do sólido com a área da superfície será dada por:
Então, substituindo o valor de e :
Resolvendo a integral, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de encontrado no passo 2:
No entanto, agora devemos somar a parcela referente a base, que será dada por:
Então, acrescentando essas parcelas na equação anterior, temos:
E, isolando da equação, temos:
Subsituindo o valor de , temos:
Passo 3
Agora vamos analisar o ponche, pela figura sabemos que devido a sua simetria, teremos . Agora vamos escolher um elemento de volume como sendo um disco de raio e espessura , dessa forma:
Mas, da equação da circunferência, sabemos que . Então, o elemento diferencial de volume será:
Passo 4
Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:
Resolvendo as integrais, temos:
Substituindo os limites de integração:
Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:
Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada:
Dessa forma, a expressão que relaciona o centro de massa do sólido com o volume do sólido será dada por:
Então, substituindo o valor de e :
Resolvendo a integral, temos:
Substituindo os limites de integração, temos:
Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de encontrado no passo 3:
E, isolando da equação, temos:
Subsituindo o valor de , temos: