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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 134

Determine por integração direta a localização do centroide do sólido limitado pelo plano x z e pela parte mostrada da superfície y = 16 h ( a x - x 2 ) ( b z - z 2 ) / a 2 b 2 .

Passo 1

Beleza! Primeiro devemos notar que a simetria do sólido nos dá que x - = a / 2 ; z - = b / 2 . Agora iremos escolher um elemento diferencial de volume com base d x d z e altura y , dessa forma, temos:

d V = y d x d z

Substituindo a equação y dada no enunciado, temos:

d V = 16 h a x - x 2 b z - z 2 a 2 b 2 d x d z

Passo 2

Então, aplicando a integral dos dois lados da última equação, temos:

V = ∫ 0 b ∫ 0 a 16 h a 2 b 2 a x - x 2 b z - z 2 d x d z

Resolvendo as integrais em x e z , temos:

V = 16 h a 2 b 2 1 2 a x 2 - 1 3 x 3 0 a 1 2 b z 2 - 1 3 z 3 0 b

Substituindo os limites de integração, temos:

V = 16 h a 2 b 2 1 2 a a 2 - 1 3 a 3 - 0 + 1 2 b b 2 - 1 3 b 3 - [ 0 ]

Simplificando a expressão, temos:

V = 4 9 a b h

Passo 3

Dessa forma, sabemos relacionar o centro de massa com o volume através da seguinte equação:

y - V = ∫ y - E L d V

Já encontramos o volume, agora falta somente encontrar a integral para depois encontrar o valor do centroide, então, fazendo:

∫ y - E L d V

Sabendo que y - E L = y / 2 , substituindo o valor de y e de d V na expressão, temos:

∫ y - E L d V = ∫ 0 b ∫ 0 a 1 2 16 h a 2 b 2 a x - x 2 b z - z 2 16 h a 2 b 2 a x - x 2 b z - z 2 d x d z

Reescrevendo a integral, temos:

∫ y - E L d V = 128 h 2 a 4 b 4 ∫ 0 b ∫ 0 a a 2 x 2 - 2 a x 3 + x 4 b 2 z 2 - 2 b z 3 + z 4 d x d z

Resolvendo as integrais em x e z :

∫ y - E L d V = 128 h 2 a 4 b 4 1 3 a 2 x 3 - 1 2 a x 4 + 1 5 x 5 0 a 1 3 b 2 z 3 - 1 2 b z 4 + 1 5 z 5 0 b

Substituindo os limites de integração, temos:

∫ y - E L d V = 128 h 2 a 4 b 4 1 3 a 2 a 3 - 1 2 a a 4 + 1 5 a 5 1 3 b 2 b 3 - 1 2 b b 4 + 1 5 b 5

Simplificando a expressão, temos:

∫ y - E L d V = 32 225 a b h 2

Agora, substituindo os valores encontrados na equação:

y - V = ∫ y - E L d V → y - 4 9 a b h = 32 225 a b h 2

Isolando y - , temos:

y - = 8 25 h

Resposta

x - = a 2 ; z - = b 2

y - = 8 25 h

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