Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 29
Localize o centroide da área sombreada entre as duas curvas.
Passo 1
Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:
Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.
Passo 2
Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:
Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a x e temos a nossa área. Dessa maneira:
Agora precisamos deixar em função de x para podermos integrar, o problema já nos entrega a função que representa as curvas, logo:
Como também:
Passo 3
Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:
Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa área, sendo que:
Passo 4
Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada x, vamos resolver a integral:
Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Com isso,
Logo,
Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:
Passo 5
Vamos encontrar o centroide em relação a coordenada y.
Com isso, antes de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:
Depois é só dividir pela área que teremos o ponto.
Cuidado! Para encontrarmos o centroide em relação a y, teremos que ter um cuidado, o ponto Y na nossa delimitação da área está no meio dos extremos, ou seja,
Lembre-se que o dA também é dado por:
Com isso,
Logo,
Dessa maneira:
Passo 6
Agora substituindo na equação do centroide, temos: