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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 45

Localize o centroide do elipsoide de revolução.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo bem? Bora pra mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos o centroide deste elipsoide. Sabemos que ele é dado por:

bar y = (int overset(tilde)(y) d V)/(int d V)

Primeiro, vamos determinar o volume deste elipsoide, ele é representado pelo denominador da relação que encontramos. Temos:

d V = pi z^2 d y

Onde z^2 é dado pela equação do elipsoide. Fica assim:

(y^2)/(b^2) + (z^2)/(a^2) = 1 -> z^2 = a^2 (1 - (y^2)/(b^2))

Substituindo:

V = int_a^b pi a^2 (1 - (y^2)/(b^2)) d y = pi a^2 [y - (y^3)/(3 b^2)]_a^b V = (2 pi a^2 b)/(3)

Em seguida, vamos determinar o numerador da nossa relação:

int overset(tilde)(y) d V = int_a^b pi a^2 y (1 - (y^2)/(b^2)) d y = pi a^2 [(y^2)/(2) - (y^4)/(4 b^2)]_a^b = (pi a^2 b^2)/(4)

Então, a posição bar y do centroide vai ser dada pela razão destas integrais que calculamos, assim:

bar y = ((pi a^2 b^2)/(4))/((2 pi a^2 b)/(3)) bar y = (3 b)/(8)

Passo 2

Para as posições x e z do centroide podemos determiná-los a partir da simetria da figura. Portanto:

bar x = bar z = 0

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

bar x = 0

bar y = (3 b)/(8) bar z = 0

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Localize o centroide x ¯ ,y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.
Localize o centroide x ¯ ,y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.
Localize o centroide y ¯ da área sombreada.
Localize o centroide y ¯ da área.
Localize o centroide bar x da área.