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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 44

Localize o centroide do quarto de cone.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo bem? Bora pra mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos o centroide deste quarto de cone. Sabemos que ele é dado por:

bar y = (int overset(tilde)(y) d V)/(int d V)

Primeiro, o elemento diferencial:

Assim, a posição do centro de massa deste elemento vai ser:

overset(tilde)(z) = z

overset(tilde)(x) = overset(tilde)(y) = (4 r)/(3 pi)

E para o raio, temos:

r = (a)/(h) (h - z)

Com isso, vamos determinar o volume deste quarto de cone, ele é representado pelo denominador da relação do centroide. Temos:

V = int_a^h (pi)/(4) ((a)/(h) (h - z))^2 d z = (1)/(12) h a^2 pi

Passo 2

Em seguida, vamos determinar a posição bar z do centroide. Para isso, basta encontramos a integral que corresponde ao numerador da equação do centroide e dividirmos pelo volume. Fica assim:

bar z = (int overset(tilde)(z) d V)/(int d V) = (12)/(h a^2 pi) int_a^h z (pi)/(4) ((a)/(h) (h - z))^2 d z bar z = (1)/(4) h

Passo 3

Para as posições x e y . Basta repetirmos o processo:

int overset(tilde)(y) d V = (12)/(h a^2 pi) int_a^h (4)/(3 pi) ((a)/(h) (h - z)) (pi)/(4) ((a)/(h) (h - z))^2 d z bar x = bar y = (a)/(pi)

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

bar x = (a)/(pi)

bar y = (a)/(pi) bar z = (h)/(4)

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Localize o centroide overset(-)(x) da área.
Localize o centroide y ¯ da área sombreada. Resolva o problema calculando as integrais por meio da regra de Simpson.
Determine a distância y ¯ até o centro de gravidade do elemento homogêneo.
Localize o centroide bar x da área sombreada.
Localize o centroide x ¯ da área sombreada. Resolva o problema calculando as integrais por meio da regra de Simpson.