Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 3

Localize o centroide x ¯ ,   y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Para determinarmos o centro de massa deste elemento homogêneo, devemos determinar a posição do elemento diferencial.

Neste caso, o elemento difrencial se encontra sobre a curva, em um ponto arbitrário ( x ,   y ) . Podemos escrever seu comprimento d L em termos de d x e d y pelo teorema de pitágoras. Fica assim:

d L = d x 2 + d y 2 = d y d x 2 + 1   d x d L = d d x a cos ⁡ π a x 2 + 1   d x d L = - π sin ⁡ π a x   2 + 1   d x = π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x

Em seguida, devemos substituir a derivada que encontramos na relação para o x ¯ . Ela é dada por:

x ¯ = ∫ L x d L   ∫ L d L

Primeiro, vamos determinar o numerador desta relação:

∫ 0 a x π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x = ∫ 0 a x 1 + - π sin ⁡ π a x 2 d x

Integrando:

= a 2 2

E para o denominador, temos:

∫ 0 a π 2 sin 2 ⁡ π a x + 1   d x = a

Assim x ¯ vai ser:

x ¯ = a 2

Passo 2

Agora, para determinarmos a posição y do centro de massa, podemos utilizar vamos utilizar a seguinte relação:

y ¯ = ∫ L y d L   ∫ L d L

Já temos o denominador, então bora determinar o numerador:

1 2 ∫ 0 a 1 + - π sin ⁡ π a x 2 2 d x = a 2

Logo, temos que y ¯ vai ser:

y ¯ = 1 2

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

x ¯ = a 2

y ¯ = 1 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o centróide y - da area sombreada.
Determine o centróide ( x - , y - ) da area sombreada.
Localize o centroide y - do sólido homogêneo formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y .
Localize o centroide z - do sólido homogêneo formado girando-se a área sombreada em torno do eixo z .
Determine o centróide ( x - , y - ) da area sombreada.