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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 65

A máscara de uma luminária de parede é feita de uma placa fina de plástico translúcido. Determine a área de sua superfície externa, sabendo que ela tem uma seção transversal parabólica como mostrado na figura.

Passo 1

Bom galera, a gente vai usar o teorema de Pappus-Guldinus, para calcular essa área, e a fórmula é:

A = θ ⋅ x - ⋅ L

A gente já sabe θ de cara, porque ele é o ângulo (em radiano) do giro dado pra formar a superfície. Então, o nosso é π .

Passo 2

Show de bola, vamos encontrar a função que forma essa parábola, pra isso a gente substitui o valor do ponto conhecido que a gente tem, assim:

y = k x 2

→ 2 5 0 = k 100 2

→ k = 250 10000 = 0,025

A função então é y = 0,025 x 2 .

Passo 3

Agora, vamos ter que encontrar o x - L , calma, o comprimento L é só usar a fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Então, multiplicando por x - , temos:

x - L = ∫ a b x 1 + f ' x 2 d x

Nossa integral fica:

→ x - L = ∫ 0 100 1 + 0,05 x 2 d x

Calculando essa integral, a gente encontra:

x - L = 17543   m m

Passo 4

Por fim, aplicamos no teorema de Pappus-Guldinus:

A = θ ⋅ x - ⋅ L

→ A = π ⋅ 17543 = 55113   m m 2

Resposta

55113   m m 2

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