Enunciado

Para o membro e carregamento do Prob. 5.72, determinar as tensões, normal e de cisalhamento, no ponto K .

Passo 1

Nesse tipo de questão com esforços combinados, a primeira coisa a fazer é substituirmos essa força por um sistema de forças e momentos equivalentes, aplicados no centróide da seção que passa por H e K .

Isso vai representar os esforços internos nessa seção, que a gente vai usar para calcular as tensões.

Vamos começar achando as projeções de P = 4450   N nos eixos coordenados. Conseguimos projetar ela no eixo y e no plano x z , e depois nos eixos x e z , pelas relações:

P y = P   s e n θ = 4450 ⋅ 0,115 0,3134 = 1632,9   N

P x z = P cos ⁡ θ = 4450 ⋅ 0,29154 0,3134 = - 4139,6   N

P z = P x z   s e n   ϕ = - 4139,6 ⋅ 0,15 0,29154 = - 2129,9   N

P x = P x z cos ⁡ ϕ = - 4139,6 ⋅ 0,25 0,29154 = - 3549,8   N

Passo 2

Agora vamos achar os representantes dos esforços internos no centroide da nossa seção H K . Antes, vamos fazer uma mudança para facilitar nossa vida, e mudar a localização dos nossos eixos coordenados para ajudar nas contas:

É maneiro, nesses exercícios, deixar o eixo x como o eixo paralelo ao eixo da barra. Aí a gente consegue usar as fórmulinhas de tensões com mais tranquilidade.

Temos essas componentes, em relação esse novo sistema de coordenadas:

- Força axial entrando na seção:

F = - 2129,9   N

- Cortantes:

V z = 3549,8     N ,     V y = 1632,9     N

- Torção:

T = M x = 3549,8 ⋅ 0,075 = 266,235   N ⋅ m

- Momentos:

M z = 2129,9 ⋅ 0,075 + 1632,9 ⋅ 0,15 = 404,678   N ⋅ m

M y = - 3549,8 ⋅ 0,15 = - 532,47   N ⋅ m

Passo 3

Bora calcular as propriedades geométricas da seção transversal:

c = d 2 = 0,0225   m

A = π c 2 = π 0,0225 2 = 0,00159   m 2

I y = I z = 1 4 π c 4 = 1 4 π 0,0225 4 = 2,01289 ⋅ 10 - 7   m 4

J = 1 2 π c 4 = 1 2 π 0,0225 4 = 4,02578 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 4

Agora é aplicar nossas fórmulinhas de tensão para o ponto P . A força axial e o momento em y geram tensão normal. O momento M z não vai gerar tensão normal porque K está na linha neutra desse esforço. O momento gera tração e a força compressão:

σ x = F A + M y c I y = - 2129,9 0,00159 + ( - 532,47 ) ⋅ - 0,0225 2,01289 ⋅ 10 - 7

σ x = 58,18   M P a

Passo 5

E a gente vê que a torção e o cortante V y geram cisalhamento no mesmo sentido:

τ x y = T c J + V y Q I z t

Para um semicírculo de raio c :

Q = A 1 y - 1 = π c 2 2 4 c 3 π = 2 3 c 3 = 7.59375 ⋅ 10 - 6   m 3

A expessura da seção é: t = d = 0,045   m . Aí fica:

τ x y = 266,235 ⋅ 0,0225 4,02578 ⋅ 10 - 7 + 1632,9   ⋅ 7.59375 ⋅ 10 - 6 2,01289 ⋅ 10 - 7 ⋅ 0,045

τ x y = 16,25   M P a

Já o cortante V z não vai gerar cisalhamento porque o nosso ponto K está situado na fibra inferior da seção.

Então é isso. Achamos tudo! Uhul!

Resposta

σ x = 58,18   M P a

τ x y = 16,25   M P a

(no novo sistema de coordenadas)

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