Enunciado

O membro AB é sustentado por um cabo BC e em A por um eixo retangular liso encaixado frouxamente no furo retangular da luva fixada ao membro, como na figura. Determine as componentes da reação em A e a tração no cabo necessárias para manter o membro em equilíbrio.

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos analisar esta questão.

Primeiro devemos construir um diagrama de corpo livre e descobrir o valor das reações de apoio. Temos que:

As coordenadas dos pontos A , B e C , são:

A 0,0 , 0   m

B 3,0 , - 1   m

C 0 ,   1,5   , 0   m

O vetor posição C B é dado por:

r B C = C - B

r B C = 0 - 3 i + 1,5 - 0 j + 0 - - 1 k

r B C = - 3 i + 1,5 j + k

Este vetor possui magnitude de:

r B C = - 3 2 + 1,5 2 + 1 2

r B C = 3,5   m

Podemos então descobrir um vetor para a tensão aplicada ao longo do cabo B C :

T B C = T B C r B C r B C

T B C = T B C - 3 i + 1,5 j + k 3,5

Passo 2

A força que age em A B é dada por:

F = 200 j - 400 k

E a força que age diretamente em A é dada por:

F A = A x i + A y j

Podemos calcular o momento em A :

M A = M A x i + M A y j + M A z k

r 1 = 3 i

r 2 = 3 i - 1 k

Analisando o somatório das forças, temos que:

∑ F = 0

Logo:

T B C + F + F A = 0

T B C - 3 i + 1,5 j + k 3,5 + 200 j - 400 k + A x i + A y j = 0

Equacionando somente as componentes em k , temos que:

2 7 T B c = 400

T B C = 1400   N

Equacionando somente as componentes em i , temos que:

- 6 7 1400 + A x = 0

A x = 1200   N

Equacionando somente as componentes em j , temos que:

3 7 1400 = - A y - 200

A y = - 800   N

Passo 3

Para o somatório dos momentos, temos que:

∑ M A = 0

M A + r 1 × F + r 2 × T B C = 0

Substituindo os dados, temos que:

M A x i + M A y j + M A z k + i 3 0       j 0 200       k 0 - 400 + i 3 - 6 7 T B C       j 0 3 7 T B C       k - 1 2 7 T B C = 0

Resolvendo, temos que:

M A x i + M A y j + M A z k + 1200 j + 600 k + 3 7 T B C i - 6 7 T B C - 6 7 T B C j + 9 7 T B C k = 0

Rearranjando na mesma direção, temos que:

M A x + 3 7 T B C = 0

M A x = - 600   N ⋅ m

Para a componente do momento em y , temos:

M A z = 9 7 T B C + 600

M A z = - 2400   N ⋅ m

E:

M A y + 1200 = 0

M A y = - 1200   N

Resposta

M A x = - 600   N ⋅ m

M A z = - 2400   N ⋅ m

M A y = - 1200   N

A x = 1200   N

A y = - 800   N

T B C = 1400   N

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