Equilíbrio em Três Dimensões

Vamos desenhar o sistema junto com os eixos:

Para que a placa esteja em equilíbrio, as seguintes relações precisam ser satisfeitas:

Vamos primeiro calcular os momentos em relação ao eixo

Para isso, perceba que e tendem a girar a placa em torno do eixo no mesmo sentido; já o peso, tende a girar a placa no sentido contrário. Além disso, perceba que está a uma distância de do eixo , a uma distância de e a uma distância de

Sendo, o módulo da força peso da placa igual a:

Então, os momentos de cada uma das forças com relação ao eixo é::

Como todos os termos estão multiplicados por , podemos cortar ele da equação:

Dividindo tudo por

E perceba que não realiza momento, pois ele está bem em cima do eixo e não tem braço de alavanca com relação a este eixo.

Agora vamos para o eixo

Aqui as forças e continuam exercendo momento de sentidos iguais assim como o momento do peso continua se opondo a eles. O que mudou foi a distância das forças:

está a uma distância de do eixo , e está a uma distância de do eixo. tem uma distância de do eixo:

Cortando todos os

Já temos esse sistema aqui:

Podemos subtrair a primeira equação da segunda:

Substituindo essa relação na segunda equação:

E será:

Agora, para achar , basta a agente usar a relação do equilíbrio das forças:

Assim:

Para que o sistema esteja em equilíbrio, as duas condições abaixo precisam ser satisfeitas:

A configuração das forças é mais ou menos assim:

Pela figura do enunciado dá para notar que a barra tem de comprimento. Sendo assim, o peso é aplicado no centro da barra, numa distância de de cada extremidade.

Ainda pela figura do enunciado, vemos que as forças de valor são aplicadas a uma distância de da extremidade. Sendo assim, o peso será aplicado a uma distância de do ponto de aplicação das forças.

Vamos calcular os momentos das forças em relação ao eixo que passa em .

Nesse caso, perceba que as duas forças de valor não exercem momento em relação a esse eixo.

Só o peso e a exercem.

Vamos calcular o módulo do peso da barra:

Perceba que essas forças geram momentos de sentidos contrários. Assim:

Agora ficou mais fácil, vamos usar a segunda condição para achar .

Antes disso, veja que a gente tem que pegar apenas a componente vertical da força ():

Ou seja:

Bom, mas são duas forças, então:

Observando o nosso triângulo, vemos que o cosseno do ângulo é:

Substituindo isso na equação de , temos que:

Assim:

Bom, quais são as forças que agem no sistema?

A força peso e a força de tensão em cada uma das correntes.

Para que a massa esteja em equilíbrio, vamos precisar garantir que:

O sistema simplificado pode ser representado assim:

Bom, pelo desenho e pelo enunciado, percebemos que as componentes verticais das tensões () vão equilibrar o peso. Assim, podemos escrever:

Lembre-se: são três correntes igualmente espaçadas, sendo assim, são três tensões.

Pelo triângulo formado pela tensão, podemos dizer:

Nós só não sabemos quem é mas basta usarmos o triângulo retângulo da figura:

Pra ficar mais fácil de ver, vamos tirar o triângulo do desenho:

Assim:

Então:

O que queremos saber nessa questão é quais são os módulos das forças de reação: e.

Em primeiro lugar, veja que as forças de reação em e serão iguais. Por quê? Porque existe um plano de simetria passando entre e

Esse plano divide a figura em duas partes iguais. Faz sentido pensar que tudo que ocorrer fisicamente em uma metade ocorrerá na outra também, não é mesmo?

Agora vamos testar o equilíbrio de momentos em relação ao eixo

Mas vamos ser espertos: passaremos o eixo em cima do ponto Dessa forma, o momento que realizar será nulo em relação a esse eixo:

Beleza! Agora só precisou calcular o momento que cada força faz em relação a esse eixo.

Assim de cara, perceba que as forças de reação apontarão na direção contrária à força .

Além disso, veja que a direção horizontal da força até o eixo é de:

.

Assim, podemos dizer que o momento da força é dado por:

Vamos atribuir a este momento o valor positivo. E o valor negativo ao momento das outras forças.

Bom, vamos às outras forças. Em primeiro lugar, pela simetria, como vimos, elas serão iguais:

E qual será a distância das forças até o eixo?

Temos que usar um pouco de trigonometria:

Essa é a vista de cima da projeção do banco no chão.

Qual é a distância de até

Basta a gente formar o triângulo abaixo em cima da figura:

Em outras palavras, a distância vai ser igual a mais o lado () do triângulo acima. Podemos calcular o lado usando trigonometria:

Então, a distância total do ponto até o ponto é:

E a distância de até Mesma coisa, já que é simétrico:

Beleza, então os momentos de cada força valerão:

Usando a relação:

Simplificando e isolando essa parada:

Beleza, mas falta achar . Agora ficou fácil: Bata a gente usar o equilíbrio das forças:

Perceba que a forças normais apontam em um sentido contrário ao da força Assim:

A ideia é a seguinte: com os dois motores ligados, havia um grupo de reações que atingiam o avião.

Com apenas uma turbina ligada, essas forças sofrem uma variação. Não queremos achar essas novas forças, mas sim a variação delas. Então, estamos procurando:

Sendo essas as variações das forças normais.

Vamos traçar um eixo que passe por e

Nesse primeiro momento, queremos descobrir o valor de Desenhando sem o avião e apenas com as forças que nos interessam:

Perceba que elas vão realizar momentos de sentidos contrários.

E qual foi o motivo de não termos usado as outras forças até esse ponto? Bom, porque o eixo passa em cima de e, pontos de aplicação de todas as outras forças. Sendo assim, os momentos delas são nulos ali.

Voltando aos cálculos:

Agora vamos passar um eixo que cruze o ponto

Desenhando sem o avião:

Dá pra perceber que os momentos terão sinais contrários, né? Assim:

Bom, vamos usar essa informa��ão a seguir.

Aí vem uma sacada importante: o que você diria que é o resultado da soma das variações das forças verticais?

Bem, para que o avião fique em equilíbrio, temos que ter:

Ou seja, a soma das forças verticais precisa ser nula. Isso precisa ser respeitado em qualquer condição, mesmo que haja variações.

Sendo assim, a soma das variações das forças precisa ser nula também:

Juntando o que vimos antes:

O desenho abaixo pode exemplificar o sistema:

Perceba que é a força elástica.

O módulo da força elástica é dado por:

Na situação de rotação, a reação vai ser nula: Para esse caso, vamos calcular as reações:

Com relação ao eixo :

E:

Pelo equilíbrio de forças:

E no eixo :

Assim, os módulos serão:

Para o caso em que :

Assim, nesse caso, a força será:

a)

Visto de lado, o negócio fica assim:

Já que a tensão sempre é aplicada no ponto médio, temos uma simetria que garante que:

E:

Por isso temos e .

Primeiro vamos calcular o binário da força de em relação ao ponto e representar a força de no ponto (o centro do círculo):

Vamos aplicar o equilíbrio de momentos no ponto

Assim:

Agora vamos usar o somatório de forças:

Assim:

b):

E no caso de a força estar assim?

O que vai mudar nesse caso? Apenas o sinal do binário do Assim:

Assim:

Aplicando o equilíbrio de forças:

Assim:

O sistema acima pode ser representado pelo desenho abaixo:

Vamos escrever cada uma das forças na forma vetorial:

Coordenadas do ponto :

Temos uma coordenada no eixo

Pra achar as coordenadas , basta projetar na horizontal e depois projetar em cada um dos eixos, e

Assim:

E as coordenadas do centro de gravidade (onde o peso é aplicado)?

Assim:

As coordenadas de são:

E de

Assim:

Então:

E:

O peso é dado por:

E ainda temos as forças de reação em

Vamos aplicar as equações de equilíbrio de forças:

Percebam que temos 3 equações e 5 incógnitas ! Precisamos de mais 2 equações para determinar todas as incógnitas.

Acho que chegou o Momento de perguntar quais são essas 2 equações, certo? Vamos trabalhar com o equilíbrio de momentos na direção na direção do eixo :

E:

Resolvendo o sistema de equações acima: