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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 125

A estrutura de três membros é conectada em suas extremidades por meio de juntas esféricas. Determine as componentes x , y , z da reação em B ea tração no membro E D . A força agindo em D é F = 135 i ^ + 200 j ^ - 180 k ^   k N .

Passo 1

Vamos desenhar o diagrama de corpor livre do trecho A B , beleza?

Antes de seguirmos com o cálculo de momentos e forças, vamos olhar para dois triângulos: o CDO e ECD.Do segundo triângulo,precisamosachar o o triângulo A B C .

É interessante que encontremos o valor do cosseno e seno do âgnulo α , para que possamos calcular as componentes vertical e horizontal de F A B . Vamos primeiro encontrar o valor da hipotenusa desse triângulo usando o teorema de Pitágoras:

x 2 = 0,8 2 + 0,6 2

x = 1,0   m

Tendo o valor da hipotenusa podemos escrever o valor dos cosseno e seno:

c o s α = 0,6 1 = 6 10 = 3 5

s e n α = 0,8 1 = 8 10 = 4 5

Passo 2

Para um corpo em equilíbrio, tanto o somatório dos momentos quanto o somatório das forças é igual a zero. Assim, calculando o momento em relação aos eixos x , y   e   z e adotando como sentido positivo o anti-horário para o momento e para cima e para direira para as forças, temos:

∑ M y = 0

- F A B s e n α + 2,5 0,3 = 0

F A B = 1,55   k N

∑ F z = 0

F A B s e n α - 2,5 + D z = 0

D z = 1,25   k N

∑ F y = 0

D y = 0

∑ F x = 0

D x + C x - F A B c o s α = 0 → e q u a ç ã o   1

∑ M x = 0

M D x + F A B s e n α 0,4 - 2,5 0,4 = 0

M D x = 0,5   k N m

∑ M z = 0

M D z + F A B c o s α 0,4 - C x 0,4 = 0   → e q u a ç ã o   2

Passo 3

Vamos olhar para a segunda parte do diagrama de corpo.

Para um corpo em equilíbrio, tanto o somatório dos momentos quanto o somatório das forças é igual a zero. Assim, calculando o momento em relação aos eixos x , y   e   z e adotando como sentido positivo o anti-horário para o momento e para cima e para direira para as forças, temos:

∑ F z = 0

D z ' - D z = 0

D z ' = 1,25   k N

∑ M x = 0

M E x = 0,5   k N m

∑ M y = 0

M E y = 0

∑ F y = 0

E y = 0

∑ M z = 0

D x 0,5 - M D x = 0     → e q u a ç ã o   3

Passo 4

Temos três equações com três incógnitas para encontrar. Vamos resolver esse sistema para encontrar essa galerinha!

D x + C x - F A B c o s α = 0 M D z + F A B c o s α 0,4 - C x 0,4 = 0 D x 0,5 - M D x = 0  

Assim, temos:

C x = 0,94   k N

M D z = 0

D x = 0

Sabemos que:

∑ F x = 0

E x = 0

Resposta

As forças são:

F A B = 1,56   k N

M E x = 0,5   k N m

M E y = 0

E x = 0

E y = 0

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