Enunciado

Determine as forças trativas nos cabos A B , A C e A D .

Passo 1

Vamos começar escrevendo vetores unitários nas direções de hat A B , hat A C , hat A D . Para isso precisamos definir um sistema de coordenadas:

hat A B = (- 1,5 hat i - 0,5 hat j + 2,5 hat k)/(sqrt(1,5^2 + 0,5^2 + 2,5^2)) = - 0,507 hat i - 0,1690 hat j + 0,845 hat k

hat A C = (1,25 hat j + 2,5 hat k)/(sqrt(1,25^2 + 2,5^2)) = 0,447 hat j + 0,894 hat k

hat A D = (2 hat i - 0,5 hat j + 2,5 hat k)/(sqrt(2^2 + 0,5^2 + 2,5^2)) = 0,617 hat i - 0,1543 hat j + 0,772 hat k

E podemos usar esses vetores unitários para definir os vetores das trações:

vec T_A B = T_A B (- 0,507 hat i - 0,1690 hat j + 0,845 hat k)

vec T_A C = T_A C (0,447 hat j + 0,894 hat k)

vec T_A D = T_A D (0,617 hat i - 0,1543 hat j + 0,772 hat k)

Passo 2

Agora precisamos escrever equações de equilíbrio para cada uma das componentes. Lembrando de acrescenter o peso na componente na direção z :

sum F_x = - 0,507 T_A B + 0,617 T_A D = 0

sum F_y = - 0,169 T_A B + 0,447 T_A C - 0,1543 T_A D = 0

sum F_z = 0,845 T_A B + 0,894 T_A C + 0,775 T_A D - (120) (9,81) = 0

Esse é um sistema bastante complicado, é uma boa ideia resover em forma matricial:

([[-,0,507,0,0,617],[-,0,169,0,447,-,0,1543],[0,845,0,894,0,775]]) ([[T_A B],[T_A C],[T_A D]]) = ([[0],[0],[1177,2]])

E agora você pode resolver isso usando qualquer método (eliminação de Gauss-Jordan por exemplo). Como esse não é um curso de álgebra matricial, o melhor a fazer é usar uma calculadora.

Nesse caso encontramos os seguintes resultados:

T_A B = 568 N

T_A C = 376 N

T_A D = 467 N

Resposta

Os módulos das forças são T_A B = 568 N , T_A C = 376 N e T_A D = 467 N .

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