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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 146b

O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (b) a máxima tensão de tração na viga.

Passo 1

Problemas deste tipo serão resolvidos utilizando o seguinte passo-a-passo:

  1. Calcular os momentos de inércia do corpo em relação a cada eixo.
  2. Medir a distância do ponto que estamos analisando ao eixo.
  3. Decompor o momento em cada eixo.
  4. Aplicar a equação que relaciona tensão normal com momento fletor, que esta mostrada abaixo:

O problema pede o maior momento fletor permissível, que é dado pela equação:

σ = M ⋅ c I

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre o eixo e o ponto da peça.

Passo 2

Então vamos seguir nosso passo-a-passo e calcular o momento de inércia desse corpo para os dois eixos y e z . Primeiro para o eixo z

I z = 1 12 b h 3 - 2 × 1 12 b ' h ' 3 + A ⋅ d ²

O primeiro termo refere-se ao retângulo grande enquanto o segundo aos dois “buracos” retangulares na peça

I 1 = 1 12 ⋅ 100 × 10 - 3 ⋅ 60 × 10 - 3 3

I 1 = 1,8 × 10 - 6   m 4

I 2 = 2 × 1 12 ⋅ 50 × 10 - 3 ⋅ 10 × 10 - 3 3 + 50 × 10 - 3 ⋅ 10 × 10 - 3 ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) ²

I 2 = 2 × ( 4,1667 × 10 - 9 + 3,125 × 10 - 7 )

I 2 = 6,33 × 10 - 7   m 4

I z = I 1 - I 2

I z = 1,8 × 10 - 6 - 6,33 × 10 - 7  

I z = 1,167 × 10 - 6   m 4

Agora para o eixo y

I y = 1 12 b h 3 - 2 × 1 12 b ' h ' 3

I 1 = 1 12 ⋅ 60 × 10 - 3 ⋅ 100 × 10 - 3 3

I 1 = 5 × 10 - 6   m 4

I 2 = 1 12 ⋅ 10 × 10 - 3 ⋅ ( 50 × 10 - 3 ) ³

I 2 = 1,04 × 10 - 7   m 4

I y = I 1 - I 2

I y = 5 × 10 - 6 - 1,04 × 10 - 7

I y = 4,896 × 10 - 6   m 4

Passo 3

Medir as distâncias:

y A = y B = - y E = - y D = 30   m m

z A = z E = - z B = - z D = 50   m m

Passo 4

Agora vamos decompor o momento nos eixos y e z :

M y = - M ⋅ s e n ( 15 ° )

M y = - 4 ⋅ 0,2588 = - 1,035   k N ⋅ m

M z = M ⋅ c o s ⁡ ( 15 ° )

M z = 4 ⋅ 0 , 9659 = 3,863   k N ⋅ m

Passo 5

Finalmente aplicar a equação do momento fletor:

σ = M ⋅ c I

Mas aqui temos de lembrar que existem dois momentos, um em cada eixo, então a nova tensão será calculada considerando os dois eixos. Como o ponto que oferece a maior tensão de tração é o ponto que resultará no maior σ positivo, então vamos ter o ponto B :

σ B = M z ⋅ y B I z + M y ⋅ z B I y

Substituindo os valores:

σ B = 3 863   ⋅ 0,0 3 1,167 × 10 - 6 + - 1035 ⋅ - 0 , 05 4,896 × 10 - 6

Olha como ambos os termos deram positivos!

σ B = 99,31 + 10,57

σ B = 109,88   M P a

Resposta

σ B = 109,88   M P a

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